Meccanica Quantistica

10.3 Più particelle in più dimensioni
Il problema di N particelle in D dimensioni, corrispondendo a N ·D gradi di libertà
è matematicamente equivalente a quello di tante particelle unidimensionali. D’altra
parte risulta conveniente usare un simbolismo un pò diverso e che dipende esplicitamente
dal numero di dimensioni che stiamo considerando. Per esempio, gli autostati
delle coordinate in 3 dimensioni verranno denotati da |x〉 e cosi via.
Esempio: L’oscillatore 3-dimensionale.
Gli autovalori dell’energia
H = 1
2m p 2 + 1
2 mω2 x 2 =
E = E1 + E2 + E3 =
n =
3
i=1
3
h/ω ni + 1
2
i=1
1
2m p2 i + 1
2 mω2x 2
i
= h/ω n + 3
2
(10.75)
(10.76)
3
ni, ni = 0, 1, 2, · · · (10.77)
i=1
Le autofunzioni dell’energia sono date da
ψE(x) =
3
i=1
ψEi (xi) (10.78)
dove ψEi (xi) sono le autofunzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale.
10.4 Particelle identiche
10.4.1 Il caso classico
Definiremo particelle identiche quelle particelle che siano delle repliche esatte le une
delle altre per quanto concerne le loro caratteristiche intrinseche, cioè massa, spin,
momento magnetico, ecc. Per esempio due elettroni sono da considerarsi come identici.
Ovviamente non ci riferiamo alle loro caratteristiche contingenti quali la loro
posizione o il loro impulso. Questa definizione rimane valida sia nel caso classico
che in quello quantistico, ma le implicazioni sono enormemente diverse nei due casi.
Classicamente è infatti possibile, almeno in linea di principio, assegnare una descrizione
spazio-temporale completa di ciascuna particella del sistema. Pertanto anche
particelle identiche possono essere identificate dalla loro storia spazio-temporale. È
come se potessimo assegnare a ognuna un segnaposto che le segue in tutta la loro
evoluzione. Dunque a livello classico non c’è poi molta distinzione tra particelle
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