Meccanica Quantistica

Essendo nel caso di n dispari possiamo prendere c0 = 0. Inoltre fissando c1 = 2 si
ha c3 = 0 (vedi equazione (8.59)). Dunque
H1(y) = 2y (8.70)
n = 2. Si ha
ǫ2 = 5
(8.71)
2
Essendo nel caso di n pari possiamo prendere c1 = 0. Inoltre fissando c0 = −2 si ha
c2 = 4 (vedi equazione (8.59)). Dunque
H2(y) = −2 + 4y 2
(8.72)
In queste equazioni i coefficienti iniziali sono stati scelti usando la condizione di
normalizzazione sulla funzione d’onda che discuteremo nel seguito. In generale le
soluzioni normalizzate sono
mω
ψE(x) = ψn(x) =
πh/2 2n (n!) 2
1/4
−
e
mωx2
2h/ Hn
mω
h/
1/2
x
(8.73)
Si può dimostrare che i polinomi di Hermite soddisfano le seguenti equazioni di
ricorrenza
H ′ n(y) = 2nHn−1(y), Hn+1(y) = 2yHn(y) − 2nHn−1(y) (8.74)
e inoltre soddisfano la seguente relazione di ortogonalità rispetto alla funzione peso
e −y2
+∞
−∞
Hn(y)Hm(y)e −y2
dy = δnm( √ π2 n n!) (8.75)
Riassumendo, i passi seguiti per risolvere il presente problema sono:
• 1) L’introduzione di variabili adimensionali
• 2) L’estrazione del comportamento asintotico e intorno all’origine della funzione
d’onda
• 3) La fattorizzazione della funzione d’onda nella sua forma asintotica per una
funzione incognita, ma con comportamento noto asintoticamente e all’origine
• 4) Sviluppo in serie della funzione incognita e determinazione del comportamento
asintotico della serie
• 5) Confronto con il comportamento asintotico della funzione d’onda e troncamento
della serie
• 6) Soluzione delle condizioni di ricorrenza
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