Meccanica Quantistica

Vediamo cosi che
e
U(t) =
∞
|m〉〈m| cosωmt (4.498)
m=1
Nella base |x〉 si ha
〈x|ψ(t)〉 = ψ(x, t) = 〈x|U(t)|ψ(0)〉 =
D’altra parte
〈x|U(t)|x ′ 〉 =
da cui
∞
〈x|m〉〈m|x ′ 〉 cosωmt =
m=1
ψ(x, t) = 2
L
∞
m=1
4.17 Operatori normali
|ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉 (4.499)
∞
m=1
dx ′ 〈x|U(t)|x ′ 〉〈x ′ |ψ(0)〉 (4.500)
2
L sin
mπ
L x
mπ
sin
L x′
cosωmt
(4.501)
mπ
sin
L x
L
cosωmt dx
0
′
mπ
sin
L x′
ψ(x ′ , 0) (4.502)
Vogliamo dare qui la condizione necessaria e sufficiente per diagonalizzare una matrice
tramite una trasformazione unitaria. Un generico operatore A si può scrivere
nella forma
A = B + iC (4.503)
con
B = 1 †
A + A
2
, C = 1 †
A − A
2i
Chiaramente sia B che C sono operatori hermitiani. Se
segue
(4.504)
[A, A † ] = 0 (4.505)
[B + iC, B − iC] = −2i[B, C] = 0 (4.506)
e quindi B e C sono diagonalizzabili simultaneamente tramite una trasformazione
unitaria. Pertanto lo stesso accade per A. Viceversa supponiamo che A sia
diagonalizzabile con una trasformazione unitaria U. Allora
U † AU = AD
e anche, prendendo l’hermitiano coniugato
U † A † U = A †
D
117
(4.507)
(4.508)