Meccanica Quantistica

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in modo da avere una normalizzazione analoga al caso unidimensionale ρdρ|R(ρ)| 2 = dρ|χE,m(ρ)| 2 (11.134) Si ha poi ∂2 ∂ ∂ρ2R(ρ) = ∂ρ − 1 2 1 ∂χ + ρ3χ √ ρ ∂ρ = 3 1 1 ∂χ 1 ∂ χ − + √ 4 ρ5 ρ3 ∂ρ ρ 2χ ∂ρ2 (11.135) e quindi l’equazione di Schrödinger diventa 2 2 h/ ∂ − 2µ ∂ρ2 − m2 − 1/4 ρ2 + V (ρ) χE,m(ρ) = EχE,m(ρ) (11.136) Vediamo che il problema così posto si presenta come un problema unidimensionale con le seguenti modifiche del potenziale. Innanzitutto dato che ρ ≥ 0 e che si ha continuità della R(ρ) in ρ = 0, segue χ(ρ = 0) = 0 (11.137) Questo, insieme con il fatto che la regione per ρ < 0 non è permessa, può essere interpretato come se ci fosse una barriera di potenziale infinita nell’origine. Inoltre per ρ > 0 il potenziale si modifica con l’aggiunta di un termine di potenziale centrifugo repulsivo V(ρ) = V (ρ) + 2 h/ 2µρ2 m 2 − 1 4 (11.138) Infatti l’ultimo termine, a parte il fattore 1/4 che deriva da problemi di riordinamento e che comunque è trascurabile nel limite classico di grandi m, si interpreta come L2 z 2µρ2 (11.139) Se si considera una particella in moto su una circonferenza nel piano, il suo momento angolare è dato da Lz = pρ = µvρ = µωρ 2 (11.140) e sostituendo che è proprio il potenziale centrifugo. L2 z 1 = 2µρ2 2 µω2ρ 2 237 (11.141)
11.6 Rotazioni in tre dimensioni Procediamo come nel caso bidimensionale. La rotazione delle coordinate nel caso classico è definita tramite la relazione xi → ¯xi = (11.142) dove, dato che si deve avere segue o in termini di matrici 3 × 3: 3 x 2 i = i=1 3 j=1 j=1,2,3 3 i=1 Rijxj ¯x 2 i RijRkj = δik (11.143) (11.144) RR T = I (11.145) La trasformazione sui vettori di stato è definita in termini di un operatore unitario U(R): R : |ψ〉 → U(R)|ψ〉 ≡ |ψR〉 (11.146) con la condizione che è equivalente a 〈ψR|Xi|ψR〉 = 3 Rij〈ψ|Xj|ψ〉 (11.147) j=1 U(R)|xi〉 = | Le espressioni per i generatori infinitesimi risultano facilmente Inoltre 3 Rijxj〉 (11.148) j=1 U(Rx) = I − i ǫ h/ Lx, Lx = Y Pz − ZPy U(Ry) = I − i ǫ h/ Ly, Ly = ZPx − XPz U(Rz) = I − i ǫ h/ Lz, Lz = XPy − Y Px (11.149) ψR(x) = ψ(R −1 x) (11.150) dove in questo caso abbiamo indicato il vettore x con la notazione compatta matriciale ⎛ ⎞ x x = ⎝y⎠ (11.151) z 238
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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