Meccanica Quantistica

Assumiamo (sempre nel caso unidimensionale) una hamiltoniana della forma
H = 1
2m P 2 + V (X) (7.5)
Usando il teorema di Ehrenfest possiamo calcolare la variazione nel tempo del valor
medio della coordinata
d i 1
〈X〉 = − 〈[X,
dt h/ 2m P 2 + V (X)]〉 = − i 1
〈
h/ 2m (2ih/)P 〉 = 1
〈P 〉 (7.6)
m
Notiamo che in modo formale possiamo scrivere
P
m
= ∂H
∂P
d
⇒ 〈X〉 = 〈∂H 〉 (7.7)
dt ∂P
La regola per calcolare le derivate di H è come nel calcolo usuale quando l’operatore
ammette uno sviluppo in serie di potenze della variabile (operatoriale) che si sta
considerando. In modo analogo si ha
d i
〈P 〉 = −
dt h/
i
〈[P, H]〉 = − 〈[P, V (X)]〉 (7.8)
h/
Se V (X) ammette una espansione in serie di X il commutatore si può calcolare,
ottenendo per iterazione
[P, X n ] = −nih/X n−1
(7.9)
Infatti si ha 2
Assumendo
segue
[P, X] = −ih/, [P, X 2 ] = −2ih/X, · · · (7.10)
[P, X n−1 ] = −(n − 1)ih/X n−2
(7.11)
[P, X n ] = X[P, X n−1 ] + [P, X]X n−1 = X(−(n − 1)ih/)X n−2 − ih/X n−1 = −nih/X n−1
Pertanto
se
Dunque
d
dt
∂V (X)
[P, V (X)] = −ih/
∂X
V (X) =
cnX n
n
〈P 〉 = −〈∂V (X)
∂X
(7.12)
(7.13)
(7.14)
〉 = −〈∂H 〉 (7.15)
∂X
2 Spesso ometteremo l’identita’ I al secondo membro del commutatore [X, P]
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