Meccanica Quantistica

In ogni caso
2
h/ n
En =
2m
2π2 L2 (6.69)
Notiamo che è sufficiente considerare n > 0. Infatti per n = 0 si ha una soluzione
banale, ψ = 0, mentre per n < 0 vale
ψn(x) = −(−1) n ψ−n(x) (6.70)
Le funzioni d’onda per n = 1 e n = 2 sono rappresentate in Figura 6.2.
ψ(x)
1
ψ(x)
-L/2 +L/2 x -L/2
+L/2 x
Figura 6.2: Le due prime funzioni d’onda per la particella nella scatola.
Dunque la risoluzione del problema della particella nella scatola ci ha portato alla
condizione di quantizzazione dell’energia. Il motivo per questo risultato è abbastanza
chiaro e dipende dalle condizioni al contorno del problema. Queste condizioni sono
specificatamente quelle di stato legato, cioè la richiesta che la funzione d’onda vada
a zero all’infinito
2
lim ψ(x) = 0 (6.71)
x→±∞
Infatti, in generale, queste condizioni significano che la densità di probabilità di
trovare la particella al di fuori di una regione finita è nulla. La condizione per avere
questi stati è chiaramente che
V (±∞) > E (6.72)
Infatti in questo caso per grandi valori di x si hanno soluzioni con esponenziali reali e
quindi la condizione asintotica (6.71) ha senso. Non è difficile dimostrare che i livelli
energetici degli stati legati sono sempre quantizzati. Nel caso precedente
la condizione di quantizzazione seguiva dal richiedere che la soluzione dipendente
da due coefficienti arbitrari fosse nulla a ±L/2. D’altra parte, poiché per ragioni
fisiche è possibile normalizzare arbitrariamente la soluzione, si ha in realtà un solo
coefficiente indipendente. Quindi stiamo imponendo due condizioni al contorno su
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