Meccanica Quantistica

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Per quanto osservato precedentemente l’elemento di matrice è diverso da zero solo tra stati che differiscono di una unità in ℓ. Cioè e 〈2, 0, 0|H1|2, 1, m ′ 〉 (14.64) 〈2, 1, m|H1|2, 0, 0〉 (14.65) Ma dato che [Lz, H1] = 0, H1 può connettere solo stati con lo stesso m e quindi m = m ′ = 0. Pertanto gli unici elementi di matrice non nulli sono 〈2, 0, 0|H1|2, 1, 0〉 e 〈2, 1, 0|H1|2, 0, 0〉 (14.66) Quindi la struttura degli elementi di matrice di H1 nella base degli stati n = 2 è ⎛ ⎞ 0 ǫ 0 0 ⎜ H1 = ⎜ǫ 0 0 0 ⎟ ⎝0 0 0 0⎠ (14.67) 0 0 0 0 con ǫ = eE r 3 drR20R21 dΩY10Y00 cosθ = −3eEa0 (14.68) dove con Rnℓ abbiamo indicato la parte radiale delle autofunzioni dell’atomo di idrogeno (vedi equazione (12.40)). Ovviamente gli autovalori di H1 sono ±ǫ con autofunzioni 1 √ 2 (|2, 0, 0〉 + |2, 1, 0〉), autovalore + ǫ 1 √ 2 (|2, 0, 0〉 − |2, 1, 0〉), autovalore − ǫ (14.69) 281
Capitolo 15 Momento angolare intrinseco o spin Come abbiamo visto la teoria generale del momento angolare prevede che il momento angolare possa assumere anche valori semiinteri, ma a parte questo risultato è ovvio che la teoria del momento angolare non si può ridurre al solo studio del momento orbitale. Infatti, in generale, la funzione d’onda non si ridurrà a una funzione a valori complessi, ma potrà avere delle ulteriori proprietà. Basta pensare al campo elettromagnetico. Il campo elettrico e magnetico, se calcolati in un sistema di riferimento ruotato non cambiano solo perchè ruotano le coordinate del punto considerato, ma anche perché ruotano le loro componenti. Questo è un fatto del tutto generale e che ci conduce a separare il momento angolare in due parti, la parte orbitale, che tiene conto della rotazione delle coordinate del punto che si sta considerando e la parte di momento angolare intrinseco, o brevemente di spin, che tiene conto delle variazioni che possono subire le componenti delle funzione d’onda. Nel caso fin qui esaminato di una funzione d’onda a valori complessi, questa variazione è nulla e si dice che lo spin è zero. 15.1 Lo spin Dal ragionamento fatto precedentemente segue che lo spin corrisponde a una vera e propria variabile dinamica addizionale, per cui il vettore di stato corrispondente ad uno spin j sarà caratterizzato da una funzione d’onda in una base in cui sono diagonali le coordinate, il quadrato del momento di spin e la sua terza componente ψj(r, m) = 〈r; j, m|ψ〉, m = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j (15.1) Dunque la funzione d’onda dipende non solo dalla posizione ma anche da una ulteriore variabile discreta m che prende 2j + 1 valori. In questa base (la base 〈j, m|) il momento di spin agisce come una matrice (2j +1) ×(2j +1) e quindi si può pensare 282
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Page 243 and 244: Inoltre se il sistema è invariante
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Page 257 and 258: e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
Page 259 and 260: Ovviamente questo stesso problema i
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Page 273 and 274: Se si considera un moto periodico,
Page 275 and 276: Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
Page 277 and 278: Ponendo a zero i coefficienti di ug
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Page 281 and 282: Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
Page 283: o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Page 291 and 292: e proiettando sulla base |x; j, m
Page 293 and 294: Consideriamo adesso il caso di un c
Page 295 and 296: In realtà l’espressione corretta
Page 297 and 298: separatamente. Dunque l’autovalor
Page 299 and 300: e applicare a entrambi i membri l
Page 301 and 302: 15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
Page 303 and 304: 15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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