Meccanica Quantistica

5.4 Valori di aspettazione
Abbiamo visto che una volta assegnate N particelle nello stato |ψ〉 (supponiamo normalizzato)
è possibile prevedere quale frazione di esse da, come risultato della misura
dell’osservabile Ω, l’autovalore ω. Per questo è necessario risolvere il problema agli
autovalori per Ω da cui otterremo che la frazione desiderata sarà
NP(ω) = N|〈ω|ψ〉| 2
(5.53)
Se invece siamo interessati a conoscere il valor medio di Ω sull’insieme delle N
particelle in esame, possiamo eludere il problema agli autovalori. Infatti si avrà,
dalla definizione di valor medio:
〈Ω〉 =
ωiP(ωi) =
ωi|〈ωi|ψ〉| 2 =
〈ψ|ωi〉ωi〈ωi|ψ〉 =
Dunque
Osserviamo che:
i
i
=
〈ψ|Ω|ωi〉〈ωi|ψ〉 = 〈ψ|Ω|ψ〉 (5.54)
i
i
〈Ω〉 = 〈ψ|Ω|ψ〉 (5.55)
1) - Per calcolare il valor medio di Ω nello stato ψ è sufficiente conoscere lo stato
e l’operatore.
2) - Se la particella si trova in un autostato di Ω, |ω〉, allora
〈Ω〉 = ω (5.56)
3) - Quando parliamo di valore medio di una osservabile ci riferiamo sempre alla
media fatta sull’insieme. Una singola particella può determinare un unico valore
per la misura di Ω.
Allorché si facciano considerazioni probabilistiche una quantità utile è la cosiddetta
deviazione standard definita come
∆Ω = 〈(Ω − 〈Ω〉) 2 〉 1/2
La quantità ∆Ω è anche detta l’indeterminazione su Ω. Si ha
ovvero
∆Ω = 〈ψ|(Ω − 〈Ω〉) 2 |ψ〉 1/2 = 〈ψ|(Ω 2 − 2Ω〈Ω〉 + 〈Ω〉 2 )|ψ〉 1/2 =
= 〈ψ|Ω 2 |ψ〉 − 〈ψ|Ω|ψ〉 2 1/2 = 〈Ω 2 〉 − 〈Ω〉 2 1/2
∆Ω = 〈Ω 2 〉 − 〈Ω〉 2 1/2
129
(5.57)
(5.58)
(5.59)