Meccanica Quantistica

e il suo aggiunto
d † d ℓ + 1
ℓ = − +
dρ ρ
Si vede subito che l’equazione per yℓ può essere riscritta nella forma
Moltiplicando entrambi i lati per d †
ℓ
D’altra parte si ha
Per cui
Segue
dℓd †
ℓ yℓ = yℓ
si ha
(11.287)
(11.288)
d † †
ℓdℓ(d ℓyℓ) = (d †
ℓyℓ) (11.289)
d †
ℓ dℓ = dℓ+1d †
ℓ+1
(11.290)
dℓ+1d †
ℓ+1 (d†
ℓ yℓ) = (d †
ℓ yℓ) (11.291)
d †
ℓ yℓ = cℓyℓ+1
(11.292)
Pertanto partendo da y0 possiamo generare le altre soluzioni con questi operatori di
creazione del numero quantico ℓ. La nostra equazione per ℓ = 0 è semplicemente
che ha due soluzioni indipendenti
d 2
dρ 2y0 = −y0
(11.293)
y A 0 = sin ρ, y B 0 = cosρ (11.294)
Ovviamente noi siamo interessati a χℓ = yℓ/ρ Si ha dunque
ρχℓ+1 = d †
ℓ (ρχℓ) =
che può essere riscritta nella forma
χℓ+1 = − d
ℓ
+
dρ ρ
Pertanto
e iterando
− d ℓ + 1
+
dρ ρ
χℓ = ρ ℓ
− d
χℓ
dρ ρℓ
χℓ+1
= −
ρℓ+1 1
d χℓ
= −
ρ dρ ρℓ 1
2 d χℓ−1
ρ dρ ρℓ−1
χℓ+1
= −
ρℓ+1 1
ℓ+1 d χ0
ρ dρ ρ0 254
(ρχℓ) (11.295)
(11.296)
(11.297)
(11.298)