Meccanica Quantistica

dato che una traslazione di a + ǫ si può ottenere con una traslazione di a seguita da
una traslazione di ǫ. Pertanto
lim T(a + ǫ) = lim 1 − i
ǫ→0 ǫ→0
ǫ
h/ P
ǫ
T(a) = T(a) − i lim PT(a) (11.26)
ǫ→0 h/
da cui
Vediamo dunque che
con soluzione (vedi Sezione 4.13)
T(a + ǫ) − T(a)
lim
ǫ→0 ǫ
dT(a)
da
= − i
PT(a) (11.27)
h/
i
= − PT(a) (11.28)
h/
T(a) = e −iaP
h/ (11.29)
Definiamo adesso un sistema invariante sotto traslazioni se
Da questa relazione segue per ǫ infinitesimo
da cui
〈ψ|T † (ǫ)HT(ǫ)|ψ〉 → 〈ψ|
〈ψǫ|H|ψǫ〉 = 〈ψ|H|ψ〉 (11.30)
1 + i Pǫ
h/
H 1 − i Pǫ
|ψ〉 =
h/
= 〈ψ|H|ψ〉 + i ǫ
h/ 〈ψ|[P, H]|ψ〉 + O(ǫ2 ) = 〈ψ|H|ψ〉 (11.31)
〈ψ|[P, H]|ψ〉 = 0 (11.32)
Segue allora dal teorema di Ehrenfest, vedi equazione (7.3),
d i
〈P 〉 = − 〈ψ|[P, H]|ψ〉 = 0 (11.33)
dt h/
Pertanto in un sistema invariante per traslazioni il valor medio dell’impulso è una
costante del moto.
Vediamo adesso come si riottengono questi risultati dal punto di vista passivo.
Definendo ancora per ǫ infinitesimo
segue dalle equazioni (11.5):
1 + i ǫ
h/ G
X
T(ǫ) = I − i ǫ
G (11.34)
h/
1 − i ǫ
h/ G
224
= X + i ǫ
[G, X] = X + ǫI (11.35)
h/