Meccanica Quantistica

il suo modulo è costante in tutto lo spazio. Ne segue che la probabilità di trovare
la particella in ogni volume finito è zero. Questo non corrisponde alla situazione
fisica in cui una particella esiste comunque in un volume finito. La conseguenza
di ciò è che nessuno stato fisico di interesse potrà essere un autostato dell’impulso.
Dunque stati con impulso esattamente definito (o analogamente stati perfettamente
localizzati) non possono esistere in senso stretto. Possiamo però costruire degli
stati normalizzabili che sono arbitrariamente vicini a stati di impulso definito.
Consideriamo a questo scopo una funzione d’onda del tipo
ψ(x) =
Avremo la condizione di normalizzazione
Pertanto
ψ(p ′ ) = 〈p ′ |ψ〉 =
|A| 2
+L
−L
1
4πh/L
A exp(ipx/h/), −L ≤ x ≤ L
0, |x| > L
1 · dx = 2L|A| 2 ⇒ A = 1
√ 2L
+L
−L
e −i(p′ − p)x/h/ h/ sin(p − p
= πh/L
′ )L
(p ′ − p)
(5.138)
(5.139)
(5.140)
Vediamo che la ψ(p ′ ) ha un picco nell’intorno di p ′ = p che si può rendere stretto a
piacere prendendo L grande a sufficienza. Potremmo dunque usare stati di questo
tipo, o anche usare uno spazio formalmente finito ma con condizioni al contorno
periodiche (quantizzazione nel box). Risulta però molto conveniente da un punto di
vista di semplicità matematica fare uso di questi vettori impropri.
5.6 Generalizzazione dei postulati a sistemi con
più gradi di libertà
L’estensione dei postulati a più gradi di libertà è molto semplice e consiste nel modificare
il postulato 2) come segue:
In corrispondenza alle n coordinate cartesiane x1, · · · , xn della teoria classica,
esistono n operatori commutanti X1, · · · , Xn. In una base simultanea di questi
operatori
|x1, · · · , xn〉 (5.141)
si ha
e
〈x1, · · · , xn|x ′ 1, · · · , x ′ n〉 = δ(x1 − x ′ 1) · · ·δ(xn − x ′ n) (5.142)
|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|ψ〉 = ψ(x1, · · · , xn) (5.143)
Xi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|Xi|ψ〉 = xiψ(x1, · · · , xn) (5.144)
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