Meccanica Quantistica

Consideriamo una particella confinata in una scatola unidimensionale. Questo
equivale a considerare il potenziale indicato in Figura 6.1. Cioè tale che
0, |x| < L/2
V (x) =
(6.49)
∞, |x| ≥ L/2
Conviene analizzare prima il caso in cui il potenziale non diventa infinito ai bordi
ma uguale a un valore costante V0, cioè V = V0 per |x| > L/2. Nella regione III
(ma lo stesso vale per la regione I) si ha
che ha per soluzione generale
ψ ′′ 2m
III =
h/ 2 (V0 − E)ψIII
ψIII(x) = Ae −kx + Be kx
(6.50)
(6.51)
con
2m
k =
h/ 2 (V0
1/2 − E)
(6.52)
Dato che la parte in B diverge per x → +∞ e noi vogliamo soluzioni normalizzabili
dobbiamo scegliere B = 0. Segue
vediamo che per V0 → ∞
Pertanto avremo
ψIII(x) = Ae −kx
(6.53)
ψIII(x) → 0 (6.54)
ψIII = ψI = 0 (6.55)
Questo corrisponde al fatto che stiamo trattando la scatola come un potenziale infinito,
cioè con pareti impenetrabili e quindi la probabilità di presenza della particella
fuori dalla scatola deve essere nulla. Nella regione II avremo
cha da luogo a soluzioni oscillanti
ψ ′′
II = − 2m
h/
2 EψII
(6.56)
ψII(x) = Ae ikx + Be −ikx , k =
2mE
h/ 2
Come abbiamo osservato dobbiamo richiedere continuità in ψ(x)
ψII(−L/2) = ψI(−L/2) = 0
(6.57)
ψII(+L/2) = ψIII(+L/2) = 0 (6.58)
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