Meccanica Quantistica

L’approssimazione WKB consiste nell’espandere la σ(x) in una serie di potenze in
h/. Qui limiteremo questa espansione al solo primo ordine
h/
σ = σ0 + σ1 + · · · (13.5)
i
Si trova dunque (allo stesso ordine di approssimazione)
−i h/
2m σ′′
h/
0 (x) − i
m σ′ 0 (x)σ′ 1
1 (x) +
2m (σ′ 0 (x))2 + (V (x) − E) = 0 (13.6)
Se ci limitiamo all’ordine zero si ha
da cui
1
2m (σ′ 0(x)) 2 + (V (x) − E) = 0 (13.7)
σ ′ 0 (x) = ± 2m(E − V (x)) (13.8)
Il secondo membro di questa equazione non e’ altro che l’impulso classico nella
regione in cui E > V (x)
p(x) = 2m(E − V (x)) (13.9)
Siamo ora in grado di discutere i limiti di questa approssimazione. Dall’equazione
(13.4) vediamo che la possibilita’ di trascurare i termini in h/si ha quando
vale a dire
1 ≫
σ′′
h/
′ 2
σ
|h/σ ′′ ′ 2
| ≪ σ
=
d 1
h/ dx σ ′
≈
d 1
h/
dx p(x) =
p′
h/
p2
=
′
V
mh/
p 3
(13.10)
(13.11)
Pertanto l’approssimazione perde di significato quando p ≈ 0, come discusso in
precedenza.
Al primo ordine in h/, si ha dalla (13.6)
da cui
σ ′ 1 = − 1
2
σ ′′
0
σ ′ 0
= − 1 d
2 dx log |σ′ 0| = d
dx log
1
′ |σ 0|
σ1(x) = log
(13.12)
1
+ cost. (13.13)
′ |σ 0|
Dunque le funzioni d’onda WKB calcolate sino al primo ordine in h/ risultano
i
1
± p(x)dx − ih/ log
h/
|p(x)|
ψ(x) = e
(13.14)
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