Meccanica Quantistica

sono identiche. D’altra parte, in meccanica quantistica non è possibile ricostruire
la storia spazio-temporale di una particella in modo completo e pertanto due configurazioni
che differiscono per lo scambio di due particelle identiche devono essere
trattate come la stessa configurazione
10.4.2 Il caso di due particelle identiche. Stati simmetrici
ed antisimmetrici
Consideriamo, nel caso quantistico, il caso di due particelle distinguibili, 1 e 2. Se
si effettua una misura di posizione trovando 1 in x = a e 2 in x = b, il vettore di
stato sarà
|ψ〉 = |x1 = a, x2 = b〉 ≡ |a, b〉 (10.80)
Se la particella 1 fosse misurata in b e la 2 in a, a causa della distinguibilità i due
vettori di stato sarebbero diversi
|ψ ′ 〉 = |x1 = b, x2 = a〉 ≡ |b, a〉 = |ψ〉 (10.81)
Se invece le due particelle sono identiche e denotiamo il vettore di stato con
|ψ(a, b)〉, dovremo avere che questo e il vettore che corrisponde allo scambio delle
due particelle |ψ(b, a)〉 sono fisicamente equivalenti, cioè
|ψ(a, b)〉 = α|ψ(b, a)〉 (10.82)
con α un numero complesso. Ovviamente non possiamo identificare il vettore di
stato |ψ(a, b)〉 né con |a, b〉 né con |b, a〉. Questo è così sia matematicamente che
fisicamente, in quanto nel caso di particelle identiche non possiamo attribuire il
risultato x1 = a ed x2 = b rispettivamente alle particelle 1 e 2 e nemmeno alle
particelle 2 ed 1, proprio per l’indistinguibilità 2 . Ma questo significa che noi non
possiamo distinguere tra i due stati |a, b〉 e |b, a〉, e pertanto possiamo assumere che
il vettore di stato cercato sia una combinazione lineare di questi due vettori
Richiedendo la (10.82) si ha
da cui
Segue dunque
|ψ(a, b)〉 = β|a, b〉 + γ|b, a〉 (10.83)
β|a, b〉 + γ|b, a〉 = α(β|b.a〉 + γ|a, b〉) (10.84)
β = αγ, γ = αβ (10.85)
α 2 = 1 ⇒ α = ±1 (10.86)
2 È come se considerassimo la misura di X1 + X2 con autovalore a + b. Ovviamente questo
autovalore non risente del modo in cui siano assegnati a e b
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