Meccanica Quantistica

soddisfa l’equazione di Schrödinger
ih/ ∂ ∂
|ψ(t)〉 = ih/
∂t ∂t e−iHt
−i
h/ |ψ(0)〉 = He Ht
h/ |ψ(0)〉 = H|ψ(t)〉 (5.179)
Inoltre, dato che H è un operatore hermitiano, U(t) è un operatore unitario
U † (t) = U −1 (t) (5.180)
Una conseguenza importante di questa relazione è che la norma di un vettore non
cambia con il tempo
〈ψ(t)|ψ(t)〉 = 〈ψ(0)|U † (t)U(t)|ψ(0)〉 = 〈ψ(0)|ψ(0)〉 (5.181)
Dunque l’evoluzione temporale di uno stato può essere pensata come una rotazione
del vettore nello spazio di Hilbert. Questo modo di pensare offre la possibilità
di descrizioni diverse della dinamica. Per esempio invece di usare una base fissa
potremo usarne una che ruoti come i vettori di stato (cioè ottenuta applicando ai
vettori di base l’operatore U(t)). In questo caso il vettore di stato appare fisso,
mentre gli operatori si evolvono nel tempo. D’altro canto, avendo a che fare con una
trasformazione unitaria, gli elementi di matrice degli operatori sono invarianti. Una
tale rappresentazione è detta rappresentazione di Heisenberg, mentre quella fin
qui usata è detta di Schrödinger.
Nel caso in cui l’hamiltoniana dipenda esplicitamente dal tempo non c’è una
strategia generale ma il problema deve essere affrontato caso per caso.
È comunque
possibile definire un propagatore e darne una rappresentazione formale. A questo
scopo dividiamo l’intervallo temporale (0, t) in N parti di ampiezza ∆ = t/N.
Potremo scrivere per ∆ piccolo,
|ψ(∆)〉 ≈ |ψ(0)〉 + ∆| ˙ ψ(0)〉 = |ψ(0)〉 − i ∆
−i
H(0)|ψ(0)〉 ≈ e
h/ H(0)∆
h/ |ψ(0)〉 (5.182)
|ψ(2∆)〉 ≈ |ψ(∆)〉 + ∆| ˙ ψ(∆)〉 = |ψ(∆)〉 − i ∆
H(∆)|ψ(∆)〉 ≈
h/
Iterando questa procedura si trova
−i
≈ e
H(∆)∆
−i
h/ e
H(0)∆
h/ |ψ(0)〉 (5.183)
|ψ(t)〉 ≈
N−1
n=0
−i
e
H(n∆)∆
h/ |ψ(0)〉 (5.184)
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