Meccanica Quantistica

Segue dunque immediatamente che
e
(A (1)⊗(2)
1
[A (1) ⊗ I (2) , I (1) ⊗ B (2) ] = 0 (10.26)
+ A (1)⊗(2)
2 ) 2 = (A (1)
1 ) 2 ⊗ I (2) + I (1) ⊗ (A (2)
2 ) 2 + 2A (1)
1 ⊗ A (2)
2
(10.27)
Questa relazione è ovvia, dato che i due operatori commutano. Sempre in modo
analogo si dimostra che
[X (1)⊗(2)
i
[X (1)⊗(2)
i
, P (1)⊗(2)
j ] = ih/δijI (1) ⊗ I (2) = ih/δijI (1)⊗(2)
, X (1)⊗(2)
j
(10.28)
] = [P (1)⊗(2)
i , P (1)⊗(2)
j ] = 0 (10.29)
Dovrebbe essere chiaro a questo punto che gli spazi V1⊗ 2 e V1 ⊗ V2 coincidono, che
|x1〉 ⊗ |x2〉 è lo stesso che |x1, x2〉 e che gli operatori X (1)⊗(2)
i coincidono con Xi.
Infatti |x1〉 ⊗ |x2〉 e |x1, x2〉 sono entrambi in corrispondenza uno a uno con i punti
del piano (x1, x2), e gli operatori hanno le stesse regole di commutazione. Quindi
X (1)⊗(2)
i = Xi, P (1)⊗(2)
i = Pi (10.30)
|x1〉 ⊗ |x2〉 = |x1, x2〉 (10.31)
Nel seguito useremo quasi sempre la notazione a destra delle precedenti equazioni,
ma il concetto di prodotto diretto è sia importante che utile.
Esiste un modo per visualizzare l’idea di prodotto diretto di spazi vettoriali,
facendo uso direttamente della base delle coordinate. Consideriamo un operatore
Ω1 che agisce in V1 con autofunzioni non degeneri
ψω1(x1) = ω1(x1) = 〈x1|ω1〉 (10.32)
che costituiscano un set completo. Analogamente si abbia un operatore Ω2 in V2
con autofunzioni non degeneri
ψω2(x2) = ω2(x2) = 〈x2|ω2〉 (10.33)
che costituiscano un set completo. Consideriamo poi un vettore di stato |ψ〉 che in
V1⊗ 2 abbia un rappresentativo
|ψ〉 ⇔ ψ(x1, x2) (10.34)
Se consideriamo un valore fisso di x1, diciamo ¯x1, possiamo espandere la funzione
d’onda sulla base ω2(x2):
ψ(¯x1, x2) =
cω2(¯x1)ω2(x2) (10.35)
ω2
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