Meccanica Quantistica

Dunque
ed analogamente
Dalla prima di queste equazioni segue
[G, X] = −ih/ (11.36)
[G, P] = 0 (11.37)
G = P + f(X) (11.38)
e dalla seconda f ′ (X) = 0 da cui f = costante. Questa costante si può riassorbire
in una ridefinizione degli stati e dunque segue ancora
G = P (11.39)
In questo caso si definisce un sistema invariante per traslazioni quando l’hamiltoniana
commuta con il generatore delle traslazioni, cioè
Pertanto si vede che
[T(ǫ), H] = 0 ⇒ T † (ǫ)HT(ǫ) = H (11.40)
[P, H] = 0 (11.41)
e
d
〈P 〉 = 0 (11.42)
dt
In questa formulazione la corrispondenza classica è particolarmente evidente perché
ogni osservabile funzione delle X e delle P si trasforma in accordo a
o anche
Nel caso classico si ha
Ω + δΩ = T † (ǫ)ΩT(ǫ) (11.43)
δΩ = −i ǫ
[Ω, P] (11.44)
h/
ω(x + ǫ, p) − ω(x, p) = δω(x, p) = ǫ{ω(x, p), p} (11.45)
Da cui vediamo ancora la corrispondenza tra parentesi di Poisson e commutatori.
L’invarianza dell’hamiltoniana rispetto a una particolare trasformazione, come
nell’esempio attuale per le traslazioni, ha come conseguenza che l’hamiltoniana commuta
con i generatori delle trasformazioni. A sua volta questo implica che gli autovalori
di tale operatori sono buoni numeri quantici, cioè che non variano con
il tempo. Infatti se A è un tale operatore (per esempio l’impulso), e α un suo
autovalore, allora
ih/ dα
dt
d
= ih/ 〈α|A|α〉 = 〈α|[A, H]|α〉 = 0 (11.46)
dt
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