Meccanica Quantistica

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Sviluppiamo la autofunzione di H in serie di λ rispetto a una autofunzione di H0 fissata, diciamo |n 0 〉, e lo stesso per il corrispondente autovalore. Avremo e |n〉 = En = ∞ λ i |n i 〉 (14.6) i=0 ∞ λ i E i n i=0 Pertanto l’equazione agli autovalori per H diviene D’altra parte vale l’identità (H0 + λH1) ∞ λ i |n i 〉 = i=0 ∞ i,j=0 = ∞ (14.7) ∞ λ i+j E i n |nj 〉 (14.8) i,j=0 p p=0 j=0 con p = i + j come si può vedere da Figura 14.1. Si trova dunque j p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 i (14.9) Figura 14.1: Illustrazione del cambiamento di variabili nella doppia somma effettuata nel testo. ∞ λ i H0|n i 〉 + i=0 ∞ λ i+1 H1|n i 〉 = i=0 273 ∞ p=0 λ p p j=0 E p−j n |n j 〉 (14.10)
Ponendo a zero i coefficienti di uguali potenze di λ si ha per il termine costante e per gli altri termini H0|n i 〉 + H1|n i−1 〉 = H0|n 0 〉 = E 0 n |n0 〉 (14.11) i j=0 E i−j n |nj 〉, i = 0 (14.12) La prima equazione conferma che |n0 〉 è l’autostato imperturbato di H0. Ovviamente questa identificazione è lecita solo nel caso non degenere, altrimenti |n0 〉 potrebbe essere una arbitraria combinazione lineare degli autostati di H0 appartenenti all’autovalore E0 n (vedi in seguito). Consideriamo il primo ordine nelle equazioni precedenti H0|n 1 〉 + H1|n 0 〉 = E 1 n |n0 〉 + E 0 n |n1 〉 (14.13) Se moltiplichiamo entrambi i membri di questa equazione per 〈n 0 | si trova da cui 〈n 0 |H0|n 1 〉 + 〈n 0 |H1|n 0 〉 = E 1 n + E0 n 〈n0 |n 1 〉 (14.14) Se invece moltiplichiamo per 〈m 0 | con m = n si trova da cui E 1 n = 〈n 0 |H1|n 0 〉 (14.15) 〈m 0 |H0|n 1 〉 + 〈m 0 |H1|n 0 〉 = E 0 n 〈m0 |n 1 〉 (14.16) 〈m 0 |n 1 〉 = 〈m0 |H1|n0 〉 E0 n − E0 , m = n (14.17) m I coefficienti 〈m0 |n1 〉 ci permettono di calcolare l’effetto della perturbazione sulla funzione d’onda. Infatti al primo ordine la correzione al vettore di stato si può ottenere tramite la seguente espansione sugli stati imperturbati |n 1 〉 = |m 0 〉〈m 0 |n 1 〉 (14.18) m Ovviamente dobbiamo ancora calcolare il termine 〈n 0 |n 1 〉. D’altra parte se chiediamo che al primo ordine lo stato perturbato sia normalizzato avremo 1 = (〈n 0 | + 〈n 1 |)(|n 0 〉 + |n 1 〉) ≈ 1 + 〈n 0 |n 1 〉 + 〈n 1 |n 0 〉 (14.19) Questo implica che 〈n0 |n1 〉 = ia con a reale. Quindi nell’espansione al primo ordine avremo |n〉 = |n 0 〉 + |n 1 〉 = |n 0 〉(1 + ia) + |m 0 〉〈m 0 |n 1 〉 (14.20) 274 m=n
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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Page 243 and 244: Inoltre se il sistema è invariante
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Page 253 and 254: che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
Page 255 and 256: Come vedremo in un momento il secon
Page 257 and 258: e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
Page 259 and 260: Ovviamente questo stesso problema i
Page 261 and 262: con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
Page 263 and 264: Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
Page 265 and 266: e quindi a = 2Z n La variabile adim
Page 267 and 268: I livelli energetici sono determina
Page 269 and 270: L’approssimazione WKB consiste ne
Page 271 and 272: problema di connettere le soluzioni
Page 273 and 274: Se si considera un moto periodico,
Page 275: Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
Page 279 and 280: e ricordando che si ha X = h/ 2mω
Page 281 and 282: Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
Page 283 and 284: o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
Page 285 and 286: Capitolo 15 Momento angolare intrin
Page 287 and 288: Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
Page 289 and 290: Dunque l’azione dell’operatore
Page 291 and 292: e proiettando sulla base |x; j, m
Page 293 and 294: Consideriamo adesso il caso di un c
Page 295 and 296: In realtà l’espressione corretta
Page 297 and 298: separatamente. Dunque l’autovalor
Page 299 and 300: e applicare a entrambi i membri l
Page 301 and 302: 15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
Page 303 and 304: 15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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