Meccanica Quantistica

L’ultima equazione si poteva anche ottenere prendendo l’aggiunta della (4.60)
〈v| =
〈i|v〉 ∗ 〈i| =
〈v|i〉〈i| (4.62)
i
Quindi, nel prendere l’aggiunta di una espressione, occorre invertire i bra ed i ket
anche quando si abbia un prodotto interno.
Vogliamo ora mostrare come sia possibile, dati n vettori linearmente indipendenti,
costruire un set di vettori ortonormali (procedimento di Gram-Schmidt). Iniziamo
definendo n vettori ortogonali dal set dato (|v1〉, · · · , |vn〉). Poniamo
|1 ′ 〉 = |v1〉
|2 ′ 〉 = |v2〉 − |1′ 〉〈1 ′ |v2〉
〈1 ′ |1 ′ 〉
i
(4.63)
Il ket |2 ′ 〉 è costruito sottraendo da |v2〉 la sua proiezione lungo |1 ′ 〉. Questo lo rende
ortogonale a |1 ′ 〉 come si verifica immediatamente. Scegliamo poi
|3 ′ 〉 = |v3〉 − |1′ 〉〈1 ′ |v3〉
〈1 ′ |1 ′ 〉 − |2′ 〉〈2 ′ |v3〉
〈2 ′ |2 ′ 〉
Data l’ortogonalità di |1 ′ 〉 e |2 ′ 〉 segue immediatamente
(4.64)
〈1 ′ |3 ′ 〉 = 〈2 ′ |3 ′ 〉 = 0 (4.65)
A questo punto è evidente che il set di vettori ortogonali si costruisce iterativamente
sottraendo al vettore |vk〉 le sue proiezioni lungo i k − 1 vettori ortogonali costruiti
precedentemente
|k ′ 〉 = |vk〉 −
k−1
i ′ =1
|i ′ 〉〈i ′ |vk〉
〈i ′ |i ′ , k = 2, · · · , n (4.66)
〉
A questo punto la base ortonormale si ottiene normalizzando ogni ket |i ′ 〉
|i〉 = |i′ 〉
|i ′ | = |i′ 〉
〈i ′ |i ′ 〉
(4.67)
L’indipendenza lineare degli n vettori iniziali è qui usata in modo implicito. Infatti
se fossero linearmente dipendenti la costruzione precedente si potrebbe arrestare
prima di arrivare al vettore |n ′ 〉.
Esercizio: dati i tre vettori
⎛ ⎞
3
⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
0
|v1〉 ⇔ ⎝0⎠
, |v2〉 ⇔ ⎝1⎠
, |v3〉 ⇔ ⎝2⎠
(4.68)
0
2
5
61