Meccanica Quantistica

4.5 Operatori lineari
Un operatore A è una istruzione che trasforma un vettore in un altro vettore. Cioè
A è un mapping dello spazio vettoriale V in sé:
L’azione di A sui vettori si rappresenta nel seguente modo
A : V → V (4.72)
|v ′ 〉 = A|v〉 (4.73)
Dato che stiamo considerando spazi vettoriali gli unici operatori che hanno senso,
cioè che trasformano lo spazio vettoriale in un altro spazio vettoriale sono quelli che
ne preservano la struttura lineare. Gli operatori con questa proprietà sono detti
operatori lineari. Più precisamente un operatore è lineare se soddisfa la seguente
proprietà:
A(α|v〉 + β|w〉) = αA|v〉 + βA|w〉 (4.74)
Un operatore A può agire anche sui bra:
x
(〈v|α + 〈w|β)A = 〈v|Aα + 〈w|Aβ (4.75)
i
z
k
Figura 4.3: I tre vettori unitari (i,j,k) in R 3 .
Un esempio molto semplice di operatore è l’operatore identità che trasforma
ogni vettore in se stesso
I|v〉 = |v〉, ∀|v〉 ∈ V (4.76)
63
j
y