Meccanica Quantistica

e applicare a entrambi i membri l’operatore J− = J1− + J2−. Illustriamo questa
procedura nel caso di due spin 1/2. Conviene usare le seguenti notazioni abbreviate
per gli stati |j1, j2; m1, m2〉
e per gli stati |j1, j2; J, M〉
Si ha allora 6
Quindi
e
e si trova
Applicando ancora J−
e dunque, come ovvio
|1/2, 1/2, ±1/2, ±12〉 ⇒ |±, ±〉 (15.115)
|1/2, 1/2, 0, 0〉 ⇒ |0, 0〉
|1/2, 1/2, 1, ±1〉 ⇒ |1, ±1〉
|1/2, 1/2, 1, 0〉 ⇒ |1, 0〉 (15.116)
(J1− + J2−)|+, +〉) =
|1, 1〉 = |+, +〉 (15.117)
J−|1, 1〉 = √ 2 − 0|1, 0〉 (15.118)
3
4
1
+ (|−, +〉 + |+, −〉) (15.119)
4
|1, 0〉 = 1 √ 2 (|−, +〉 + |+, −〉) (15.120)
J−|1, 0〉 = √ 2|1, −1〉 = 1 √ (J1− + J2−)(|−, +〉 + |+, −〉) =
2
= 1
3 1
√ +
2 4 4 (|−, −〉 + |−, −〉) = √ 2|−, −〉 (15.121)
|1, −1〉 = |−, −〉 (15.122)
L’altro stato che rimane da determinare |0, 0〉 (singoletto) si trova osservando che ci
sono solo due modi di ottenere M = 0 e quindi
Inoltre si hanno due condizioni, la normalizzazione
e l’ortogonalità con |1, 0〉, da cui
6 Ricordiamo che J±|j, m〉 = j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m − 1〉
|0, 0〉 = α|+, −〉 + β|−, +〉 (15.123)
|α| 2 + |β| 2 = 1 (15.124)
α + β = 0 (15.125)
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