Meccanica Quantistica

Notiamo anche che questa equazione, insieme a quella per Jz, è equivalente all’equazione
agli autovalori per J 2 . Infatti da
J 2 = J 2 z + Jz + J−J+
(11.223)
segue che J+Yℓℓ(θ, φ) = 0 e JzYℓℓ(θ, φ) = ℓYℓℓ(θ, φ) equivalgono a J 2 Yℓℓ(θ, φ) =
ℓ(ℓ + 1)Yℓℓ(θ, φ). Vediamo che, come nel caso dell’oscillatore armonico, si riesce
a ricondurre una equazione differenziale del secondo ordine a una del primo ordine
grazie alla possibilità di fattorizzare l’hamiltoniana per l’oscillatore e J 2 per il
momento angolare. Dalle espressioni per Jx e Jy si ha
J± = ±e ±iφ
∂ i ∂
±
∂θ tan θ ∂φ
(11.224)
Pertanto
0 = J+Yℓℓ(θ, φ) = e iφ
∂ ℓ
− Yℓℓ(θ, φ)
∂θ tanθ
(11.225)
Questa equazione può riscriversi come
d
d ℓ
− ℓcosθ Fℓ(θ) = cos θ − Fℓ(θ) = 0
dθ sin θ
d sinθ sin θ
(11.226)
da cui
che integrata ha per soluzione
Segue
dFℓ(θ)
Fℓ(θ)
= ℓd sinθ
sin θ
Fℓ(θ) = c(sin θ) ℓ
Yℓℓ(θ, φ) = c(sin θ) ℓ e iℓφ
(11.227)
(11.228)
(11.229)
La costante c si può determinare normalizzando la soluzione sull’angolo solido
1 = dφ sinθdθ|Yℓℓ(θ, φ)| 2 = 2π|c| 2
+1
(sin θ)
−1
2ℓ d(cosθ) = 2π|c| 222ℓ+1 (ℓ!) 2
(2ℓ + 1)!
(11.230)
Pertanto
ℓ 1 (2ℓ + 1)!
c = (−1) √
4π 2ℓ (11.231)
ℓ!
dove la fase è stata scelta in modo che la Yℓ0(0, 0) risulti reale e positiva.Una volta
ricavata l’armonica sferica di peso massimo si possono ricavare le altre applicando
l’operatore J− Notiamo che in generale si ha
J− e imφ
f(θ) = −e i(m − 1)φ
d
+ mcosθ f(θ) =
dθ sin θ
= −e i(m − 1)φ −m d
(sin θ)
dθ [(sin θ)mf(θ)] =
= e i(m − 1)φ 1−m d
(sin θ)
d cosθ [(sin θ)mf(θ)] (11.232)
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