Meccanica Quantistica

Dunque l’espressione finale risulta
Con le due possibilità
si generano le funzioni
χ A ℓ =
χℓ = (−ρ) ℓ
1 d
ρ dρ
ℓ
χ0
sin ρ
ρ , χB − cos ρ
ℓ =
ρ
χ A ℓ ≡ jℓ = (−ρ) ℓ
ℓ
1 d sin ρ
ρ dρ ρ
le funzioni sferiche di Bessel di ordine ℓ e
χ B ℓ ≡ nℓ = (−ρ) ℓ
ℓ
1 d − cosρ
ρ dρ ρ
(11.299)
(11.300)
(11.301)
(11.302)
le funzioni sferiche di Neumann di ordine ℓ. Si dimostra che per grandi ρ
queste funzioni hanno i seguenti andamenti asintotici
ρ → ∞ : jℓ → 1
sin ρ −
ρ
ℓπ
(11.303)
2
ρ → ∞ : nℓ → − 1
cosρ −
ρ
ℓπ
(11.304)
2
Nel limite ρ → 0 si ha invece
ρ → 0 : jℓ →
ρℓ
(2ℓ + 1)!!
(2ℓ − 1)!!
ρ → 0 : nℓ → −
ρℓ+1 Dunque la soluzione di particella libera regolare all’origine è
Usando ∞
si ha
ψEℓm(r, θ, φ) = jℓ(kr)Yℓm(θ, φ), E = h/ 2 k 2
0
2µ
(11.305)
(11.306)
(11.307)
jℓ(kr)jℓ(k ′ r)r 2 dr = π
2k 2δ(k − k′ ) (11.308)
ψ ∗ Eℓm(r, θ, φ)ψE ′ ℓ ′ m ′(r, θ, φ)r2drdΩ = π
2k2δ(k − k′ )δℓℓ ′δmm ′ (11.309)
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