Meccanica Quantistica

Il primo termine a secondo membro di questa equazione fornisce la legge di Newton,
mentre il termine successivo e tutti gli altri trascurati nascono a causa del fatto che
la particella non è localizzata nel punto x0 e quindi risponde al potenziale anche
nei punti vicini a x0. Notiamo che tutti i termini correttivi si annullano nel caso
particolare di potenziali quadratici
V = ax 2 + bx + c (7.33)
quindi nel caso dell’oscillatore armonico. In generale le correzioni quantistiche sono
piccole per potenziali che variano poco su regioni dell’ordine di grandezza del
pacchetto. La condizione precisa è che (vedi equazione (7.32))
∂ 2 F
∂x 2 ∆2 ≪ F (7.34)
dove F = −∂V/∂x è la forza. Nel caso numerico che abbiamo considerato (∆ ≈
10 −13 cm) le fluttuazioni sono trascurabili per qualunque potenziale macroscopico
(cioè che coinvolga solo scale macroscopiche). D’altra parte al passare del tempo
il pacchetto si sparpaglia, ma ricordiamo che con indeterminazioni sulla velocità
dell’ordine di 10 −14 cm occorrono 300,000 anni affinché l’indeterminazione diventi
dell’ordine del millimetro. Pertanto in un caso come quello esaminato la descrizione
classica è senz’altro buona. Se però partissimo con pacchetti tale che ∆ ≈ 10 −27 cm
allora le cose sarebbero diverse. D’altra parte stati di questo tipo non occorrono
in pratica. Infatti se misuriamo la posizione tramite la luce nel visibile si ha a
disposizione una lunghezza d’onda λ ≈ 10 −5 cm con analoga indeterminazione ∆.
Per misurare X con un ∆ ≈ 10 −27 cm occorre una pari λ. Ma per questo sarebbe
necessaria radiazione elettromagnetica con impulso
p = h
λ
6 × 10−34
≈ Kg · m/s ≈ 6 gr · cm/s (7.35)
10−29 Ma un fotone di questo tipo potrebbe far rinculare un oggetto macroscopico.
Notiamo infine che anche se x0 e p0 soddisfano le equazioni di Hamilton in buona
approssimazione, non è detto che lo stesso accada per un’altra variabile dinamica Ω
dato che
〈Ω(X, P)〉 = Ω(x0, p0) = ω(x0, p0) (7.36)
Per esempio, se consideriamo Ω = X 2 si ha
〈x0, p0, ∆|X 2 |x0, p0, ∆〉 = 〈x0, p0, ∆|(X 2 − x 2 0)|x0, p0, ∆〉 + x 2 0 = ∆ 2 + x 2 0 =
= (〈X〉) 2 = x 2 0
7.1 La rappresentazione di Heisenberg
(7.37)
Le precedenti equazioni derivate per i valori medi degli operatori possono essere
rappresentate in modo più suggestivo facendo uso della rappresentazione di Heisenberg.
In questa rappresentazione i vettori di stato vengono riportati al tempo t = 0,
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