Meccanica Quantistica

Se calcoliamo la densità di probabilità di presenza troviamo
1
P(x, t) =
π∆2 (1 + h/ 2 t2 /(m2∆4 1/2 −(x − p0t/m)
e
))
2 1
∆2 (1 + h/ 2 t2 /(m2∆4 ))
(6.38)
Dal confronto con la densità di presenza iniziale, vediamo che il pacchetto gaussiano
conserva la forma gaussiana ma con
x → x − p0
t, ∆ → ∆(t) = ∆
m
1 + h/ 2 t 2
m 2 ∆ 4
1/2
(6.39)
Pertanto si ha
〈X〉 = p0
t
m
(6.40)
cioè il centro del pacchetto si muove con velocità p0/m ed inoltre
∆X(t) = ∆(t)
√ 2
(6.41)
Dunque al passare del tempo lo sparpagliamento del pacchetto, come misurato da
∆(t), aumenta. In particolare per t ≫ m∆ 2 /h/ si ha
∆(t) → h/t
m∆
Questo risultato si intuisce facilmente osservando che (usando la (5.136))
e quindi
∆v(0) = 1
∆P(0) =
m
h/
√ 2m∆
∆X(t) ≈ ∆v(0)t = h/t
√ 2m∆
(6.42)
(6.43)
(6.44)
Notiamo che per una particella macroscopica, con m = 1 gr e ∆ = 10 −13 cm, si ha
∆v(0) =
1.05 × 10 −34
1.42 × 10 −3 × 10 −13 ≈ 10−16 m/sec (6.45)
Se assumiamo t ≈ 300, 000 anni (1 anno ≈ 3 × 10 7 sec) si ha
∆X(t) ≈ 9 × 10 12 × 10 −16 ≈ 10 −3 m (6.46)
Dunque la dispersione per una particella macroscopica impiega tempi enormemente
lunghi prima di diventare essa stessa macroscopica. Corrispondentemente le
particelle macroscopiche possono essere trattate con la meccanica classica.
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