Meccanica Quantistica

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Per esempio per due spin 1/2 il momento angolare totale può essere 0 o 1. Se J e’ semintero si puo’ procedere analogamente notando che in questo caso J + 1/2 e’ intero e varia di una unita’. Quindi potremo ancora scrivere (2j1 + 1)(2j2 + 1) = j1+j2 J=Jmin j1+j2+1/2 Jmin+1/2 = 2 n − 2 n = (2J + 1) = 2 j1+j2 J=Jmin (J + 1/2) = 2 n=1 n=1 = (j1 + j2 + 1/2)(j1 + j2 + 3/2) − (Jmin − 1/2)(Jmin + 1/2) = j1+j2+1/2 n=J min+1/2 = (j1 + j2) 2 + 2(j1 + j2) + 3/4 − (J 2 min − 1/4) = = (j1 + j2) 2 + 2(j1 + j2) − (J 2 min − 1) (15.107) e si ottiene dunque lo stesso risultato del caso di J intero. 15.2.1 Coefficienti di Clebsch-Gordan Entrambi i sistemi di vettori |j1, j2; m1, m2〉 e |j1, j2; J, M〉 formano due sistemi ortonormali. Dunque i vettori in una base si possono scrivere come combinazione lineare degli altri. Usando la completezza si ha |j1, j2; J, M〉 = |j1, j2; m1, m2〉〈j1, j2; m1, m2|j1, j2; J, M〉 (15.108) I coefficienti m1,m2 n = 〈j1, j2; m1, m2|j1, j2; J, M〉 (15.109) si chiamano i coefficienti di Clebsch-Gordan. Per quanto dimostrato precedentemente questi sono diversi da zero solo quando sono soddisfatte le condizioni: 〈j1, j2; m1, m2|j1, j2; J, M〉 = 0, se |j1 − j2| ≤ J ≤ j1 + j2 〈j1, j2; m1, m2|j1, j2; J, M〉 = 0, se M = m1 + m2 Per convenzione si assumono tutti i Clebsch-Gordan reali e inoltre Si dimostra anche la proprietà (15.110) (15.111) 〈j1, j2; j1, J − j1|j1, j2; J, J〉 > 0 (15.112) 〈j1, j2; m1, m2|j1, j2; J, M〉 = (−1) j1+j2−J 〈j1, j2; −m1, −m2|j1, j2; J, −M〉 (15.113) Il modo con cui si possono costruire i Clebsch-Gordan è di partire dalla relazione |j1, j2; j1, j2〉 = |j1, j2; J = j1 + j2, M = j1 + j2〉 (15.114) 295
e applicare a entrambi i membri l’operatore J− = J1− + J2−. Illustriamo questa procedura nel caso di due spin 1/2. Conviene usare le seguenti notazioni abbreviate per gli stati |j1, j2; m1, m2〉 e per gli stati |j1, j2; J, M〉 Si ha allora 6 Quindi e e si trova Applicando ancora J− e dunque, come ovvio |1/2, 1/2, ±1/2, ±12〉 ⇒ |±, ±〉 (15.115) |1/2, 1/2, 0, 0〉 ⇒ |0, 0〉 |1/2, 1/2, 1, ±1〉 ⇒ |1, ±1〉 |1/2, 1/2, 1, 0〉 ⇒ |1, 0〉 (15.116) (J1− + J2−)|+, +〉) = |1, 1〉 = |+, +〉 (15.117) J−|1, 1〉 = √ 2 − 0|1, 0〉 (15.118) 3 4 1 + (|−, +〉 + |+, −〉) (15.119) 4 |1, 0〉 = 1 √ 2 (|−, +〉 + |+, −〉) (15.120) J−|1, 0〉 = √ 2|1, −1〉 = 1 √ (J1− + J2−)(|−, +〉 + |+, −〉) = 2 = 1 3 1 √ + 2 4 4 (|−, −〉 + |−, −〉) = √ 2|−, −〉 (15.121) |1, −1〉 = |−, −〉 (15.122) L’altro stato che rimane da determinare |0, 0〉 (singoletto) si trova osservando che ci sono solo due modi di ottenere M = 0 e quindi Inoltre si hanno due condizioni, la normalizzazione e l’ortogonalità con |1, 0〉, da cui 6 Ricordiamo che J±|j, m〉 = j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m − 1〉 |0, 0〉 = α|+, −〉 + β|−, +〉 (15.123) |α| 2 + |β| 2 = 1 (15.124) α + β = 0 (15.125) 296
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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Page 253 and 254: che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
Page 255 and 256: Come vedremo in un momento il secon
Page 257 and 258: e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
Page 259 and 260: Ovviamente questo stesso problema i
Page 261 and 262: con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
Page 263 and 264: Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
Page 265 and 266: e quindi a = 2Z n La variabile adim
Page 267 and 268: I livelli energetici sono determina
Page 269 and 270: L’approssimazione WKB consiste ne
Page 271 and 272: problema di connettere le soluzioni
Page 273 and 274: Se si considera un moto periodico,
Page 275 and 276: Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
Page 277 and 278: Ponendo a zero i coefficienti di ug
Page 279 and 280: e ricordando che si ha X = h/ 2mω
Page 281 and 282: Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
Page 283 and 284: o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
Page 285 and 286: Capitolo 15 Momento angolare intrin
Page 287 and 288: Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
Page 289 and 290: Dunque l’azione dell’operatore
Page 291 and 292: e proiettando sulla base |x; j, m
Page 293 and 294: Consideriamo adesso il caso di un c
Page 295 and 296: In realtà l’espressione corretta
Page 297: separatamente. Dunque l’autovalor
Page 301 and 302: 15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
Page 303 and 304: 15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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