Meccanica Quantistica

La dinamica è molto semplice perché in questo caso lo spazio degli stati è bidimensionale
e il generico vettore di stato può essere espanso nella base
1
0
|1/2, 1/2〉 = , |1/2, −1/2〉 =
(15.92)
0
1
Notiamo che in questa base la matrice σ3 è diagonale. In particolare il problema del
moto in un campo magnetico costante è semplificato dal fatto che è sempre possibile,
in questo caso, scegliere la direzione di B lungo l’asse z e quindi l’equazione si riduce
a
ih/ ∂
∂t
χ+
χ−
= −µBB
χ+
−χ−
quindi a due equazioni disaccoppiate che si integrano immediatamente
χ±(t) = χ±(0)e ±iωt , ω = µBB
h/
= eB
2mc
15.2 Addizione di momenti angolari
(15.93)
(15.94)
Consideriamo due momenti angolari commutanti tra loro J1 e J2 5 e vogliamo determinare
gli autovalori relativi al quadrato ed alla terza componente del momento
angolare totale
J = J1 + J2
(15.95)
Iniziamo considerando il problema agli autovalori per
Nella base |j1, j2; m1, m2〉 si ha
Jz = J1z + J2z
(15.96)
Jz|j1, j2; m1, m2〉 = (J1z + J2z)|j1, j2; m1, m2〉 = (m1 + m2)|j1, j2; m1, m2〉 (15.97)
Dunque i possibili autovalori di Jz sono M = m1+m2. D’altra parte per M fissato ci
sono molte scelte possibili, cioè avremo degenerazione rispetto a M. Consideriamo
allora lo spazio di Hilbert generato dai vettori |j1, j2; m1, m2〉. Chiaramente in questo
spazio ci saranno (2j1 + 1)(2j2 + 1) vettori. Passiamo adesso alla base del momento
angolare totale, dove useremo gli operatori J 2
1 , J 2
2 , J 2 e Jz con rispettivi autovalori
j1, j2, J e M. I corrispondenti ket sono
|j1, j2; J, M〉 (15.98)
Questi quattro operatori commutano tra loro e non ci sono altri operatori che commutino
con questi quattro. La base in cui questi operatori sono diagonali costituisce
una base ortonormale alla stregua di quelle in cui erano diagonali i due momenti
5 Usiamo qui momenti angolari adimensionali, cioè divisi per h/
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