Meccanica Quantistica

en definito caratterizzato da tutti gli autovalori delle osservabili usate nella misura,
Ω, Λ, Γ, · · ·:
|ω, λ, γ, · · · 〉 (5.110)
Assumeremo che un tale sistema di osservabili compatibili esista sempre e lo chiameremo
un set completo di osservabili commutanti.
B) - Se Ω e Λ sono incompatibili possiamo ancora specificare quale sia la probabilità
di ottenere prima ω e poi λ dalle due misure in successione, ma invertendo
l’ordine si ha
P(ω, λ) = P(λ, ω) (5.111)
Infatti la successione delle due misure dà
Le rispettive probabilità sono dunque
|ψ〉 =⇒
Ω |ω〉〈ω|ψ〉 =⇒
Λ |λ〉〈λ|ω〉〈ω|ψ〉 (5.112)
|ψ〉 =⇒
Λ |λ〉〈λ|ψ〉 =⇒
Ω |ω〉〈ω|λ〉〈λ|ψ〉 (5.113)
P(ω, λ) = |〈λ|ω〉| 2 |〈ω|ψ〉| 2 = P(λ, ω) = |〈ω|λ〉| 2 |〈λ|ψ〉| 2
(5.114)
Inoltre dopo la seconda misura il sistema è autostato della seconda osservabile misurata
e non più della prima.
Esempio: Consideriamo un ket |ψ〉 nella base degli autostati, |x〉, dell’operatore di
posizione X:
|ψ〉 =
+∞
∞
|x〉〈x|ψ〉dx =
+∞
∞
|x〉ψ(x)dx (5.115)
La ψ(x) è la funzione d’onda che assumeremo di tipo gaussiano (vedi Fig. 5.1)
− a)2
−(x
ψ(x) = Ae 2∆2 (5.116)
Il coefficiente A è determinato richiedendo che la ψ(x) sia normalizzata a uno:
1 = 〈ψ|ψ〉 = dx〈ψ|x〉〈x|ψ〉 = dx|ψ(x)| 2
(5.117)
Eseguendo il calcolo si ha
1 = |A| 2
Sceglieremo
− a)2
−(x
e ∆2 dx = |A| 2
A =
y2
−
e ∆2 dy = |A| 2
∆
1
(π∆ 2 ) 1/4
137
e −z2
dz = |A| 2 ∆ √ π
(5.118)
(5.119)