Meccanica Quantistica

La sua azione sui vettori di base è data da
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 0 1 1
⎛ ⎞
0
⎝1
0 0⎠
⎝0⎠
= ⎝1⎠
⇔ T |1〉 = |2〉 (4.100)
0 1 0 0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 0 1 0
⎛ ⎞
0
⎝1
0 0⎠
⎝1⎠
= ⎝0⎠
⇔ T |2〉 = |3〉 (4.101)
0 1 0 0 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 0 1 0
⎛ ⎞
1
⎝1
0 0⎠
⎝0⎠
= ⎝0⎠
⇔ T |3〉 = |1〉 (4.102)
0 1 0 1 0
Quindi dall’espressione degli elementi di matrice possiamo ricostruire l’azione dell’operatore
astratto sui vettori di base.
Gli elementi di matrice dell’operatore identità si calcolano immediatamente:
〈i|I|j〉 = 〈i|j〉 = δij
(4.103)
Quindi l’operatore identità in una base ortonormale corrisponde alla matrice identità.
Ricordiamo che abbiamo dimostrato la relazione
|v〉 =
n
|i〉〈i|v〉 (4.104)
i=1
che può essere riscritta nella forma
n
|v〉 = |i〉〈i| |v〉 (4.105)
i=1
Questa relazione che l’espressione in parentesi altro non è che un operatore che
applicato al ket |v〉 lo riproduce. Quindi si ha
n
I = |i〉〈i|
(4.106)
i=1
È interessante considerare le quantità |i〉〈i| come operatori. La loro azione è data
da
(|i〉〈i|) |v〉 = |i〉〈i|v〉 = vi|i〉 (4.107)
Questi operatori sono definiti proiettori
Pi = |i〉〈i| (4.108)
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