Meccanica Quantistica

con la proprietà
U † (R)ViU(R) =
j=1,2
RijVj
con
cosφ − sin φ
R =
sin φ cosφ
sarà chiamato un operatore vettoriale.
11.5.1 Il problema agli autovalori per Lz
Il problema agli autovalori per Lz
si studia più facilmente nella base delle coordinate polari
da cui
(11.98)
(11.99)
Lz|ℓz〉 = ℓz|ℓz〉 (11.100)
−ih/ ∂ψℓz(ρ, θ)
∂θ
= ℓzψℓz(ρ, θ) (11.101)
ψℓz(ρ, θ) = R(ρ)e iℓzθ
h/ (11.102)
dove R(ρ) è una funzione arbitraria normalizzabile nella base polare. Notiamo che
in questa base
dxdy = ρdρdθ (11.103)
e quindi dovremo avere ∞
|R(ρ)| 2 ρdρ < ∞ (11.104)
0
Notiamo che a differenza delle autofunzioni dell’impulso in cui gli autovalori dovevano
essere reali per avere una funzione non divergente all’infinito, nel caso in esame
gli estremi angolari sono finiti, (0, 2π) e pertanto questo argomento non si applica.
D’altra parte l’operatore Lz dovrà essere hermitiano sulle funzioni di tipo (11.102).
Quindi la condizione da imporre è
Dunque dovremo avere
〈ψ1|Lz|ψ2〉 ∗ = 〈ψ2|Lz|ψ1〉 (11.105)
〈ψ1|Lz|ψ2〉 ∗ =
∞ 2π
= ψ
0 0
∗
1(ρ, θ) −ih/ ∂
∗ ψ2(ρ, θ) ρdρdθ =
∂θ
∞ 2π
= ψ1(ρ, θ) ih/
0 0
∂
ψ
∂θ
∗ 2(ρ, θ)ρdρdθ =
∞ 2π
= ih/
0 0
∂
(ψ
∂θ
∗ ∞ 2π
2ψ1)ρdρdθ − ψ
0 0
∗
2 ih/ ∂
ψ1ρdρdθ =
∂θ
∞
= 〈ψ2|Lz|ψ1〉 + ih/ [ψ ∗ 2π
2ψ1] 0 ρdρ (11.106)
0
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