Meccanica Quantistica

Se adesso espandiamo il vettore |x(t)〉 nella base in cui Ω è diagonale
avremo
da cui
|x(t)〉 = |I〉xI(t) + |II〉xII(t) (4.319)
|¨x〉 = |I〉¨xI(t) + |II〉¨xII(t) = Ω|x〉 = Ω (|I〉xI(t) + |II〉xII(t)) =
= −ω 2 I|I〉xI(t) − ω 2 II|II〉xII(t) (4.320)
¨xI(t) = −ω 2 I xI(t)
¨xII(t) = −ω 2 II xII(t) (4.321)
Queste equazioni, con la condizione iniziale ˙x1(0) = ˙x2(0) = 0, si risolvono immediatamente
con il risultato
Pertanto
Dato che
segue
xi(t) = xi(0) cosωit, i = I, II (4.322)
|x(t)〉 = |I〉xI(0) cosωIt + |II〉xII(0) cosωIIt (4.323)
xi(0) = 〈i|x(0)〉 (4.324)
|x(t)〉 = (|I〉〈I| cosωIt + |II〉〈II| cosωIIt) |x(0)〉 (4.325)
Vediamo dunque che il vettore |x(t)〉 si ottiene dal valore iniziale |x(0)〉 tramite
l’azione dell’ operatore lineare dato in parentesi nell’equazione precedente.
Dunque abbiamo ricondotto il nostro problema ai seguenti tre passi:
i) - Risolvere il problema agli autovalori per Ω
ii) - Trovare i coefficienti xi(0) = 〈i|x(0)〉 con i = I, II
iii) - Usare l’equazione (4.325)
Nel caso in esame si ha
xI(0) = 〈I|x(0)〉 = 1
√ 2
xII(0) = 〈II|x(0)〉 = 1
√ 2
Pertanto la soluzione è
|x(t)〉 = |I〉 x1(0) + x2(0)
√ 2
1 1
x1(0)
=
x2(0)
1 √ (x1(0) + x2(0)) (4.326)
2
1 −1 x1(0)
x2(0)
= 1 √ (x1(0) − x2(0)) (4.327)
2
cosωIt + |II〉 x1(0) − x2(0)
√ 2
94
cos ωIIt (4.328)