Meccanica Quantistica

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Come dai calcoli della Sezione precedente si ha che le corrente di probabilità per l’onda incidente, l’onda riflessa e l’onda trasmessa sono rispettivamente: onda incidente : |jinc| ∝ k1|A| 2 onda riflessa : |jrifl| ∝ k1|B| 2 onda trasmessa : |jtras| ∝ k2|C| 2 (6.127) Possiamo allora definire i coefficienti di riflessione e trasmissione come i rapporti tra le correnti di probabilità delle onde riflessa e trasmessa rispetto alla corrente dell’onda incidente R = |jrifl| |jinc| = B A 2 , T = |jtras| |jinc| = k2 k1 C A 2 (6.128) È opportuno osservare che la definizione dei coefficienti R e T è fatta in termini delle correnti di probabilità. Il loro valore in termini dei coefficienti delle onde asintotiche dipende dalla forma asintotica del potenziale. Se per esempio il potenziale va a zero a +∞ allora si ha k2 = k1 e T = |C| 2 /|A| 2 (vedi esempio successivo). Consideriamo adesso il caso E < V0. nel caso classico ci aspettiamo che la particella venga riflessa e mai trasmessa attraverso il gradino di potenziale. Vediamo cosa succede nel caso quantistico. Nella regione II si ha e la soluzione con E0 < V0 è d 2 ψII(x) dx 2 2m + h/ 2 (E0 − V0)ψII(x) = 0 (6.129) ψII(x) = Ce −κx , κ = 2m(V0 − E0) h/ 2 (6.130) Ovviamente la soluzione con l’esponenziale positivo va scartata. Dunque si ha una probabilità finita di trovare la particella nella regione II dove l’energia cinetica della particella E0 −V0 è negativa. D’altra parte poiché la funzione d’onda è reale, si vede subito che non c’ è corrente di probabilità in questa regione. L’effetto per cui esiste una probabilità diversa da zero di trovare la particella nella zona II si chiama effetto tunnel. Il motivo è che se si considera una barriera del tipo illustrato in Figura 6.7, le considerazioni precedenti mostrano che esiste una probabilità non nulla per la particella di attraversare la barriera (e quindi di trovarsi nella regione III). Esercizio: Consideriamo una barriera di potenziale data da una delta di Dirac V = aV0δ(x) (6.131) le soluzioni nella regione I e II sono rispettivamente (richiedendo che nella regione II esista solo la soluzione che si propaga verso destra) ψI(x) = Ae ikx + Be −ikx ψII(x) = Ce ikx 167 (6.132)
V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx I II 0 Figura 6.7: La propagazione al di là della barriera di una particella quantistica costituisce l’effetto tunnel. La condizione di continuità sulla funzione d’onda richiede che III A + B = C (6.133) Inoltre integrando l’equazione di Schrödinger attraverso la barriera di potenziale come abbiamo fatto in Sezione 6.2.2 si trova da cui h/ 2 Risolvendo in C/A e B/A si trova da cui R = B A 2 = S2 1 + S 2, − 2m (ψ′ (ǫ) − ψ ′ (−ǫ)) = −aV0ψ(0) (6.134) iC − i(A − B) = 2SC, S = maV0 h/ 2 k C A T = = 1 1 + iS , C A 2 B A = 1 = 1 + S2 = −iS 1 + iS 1 E x 1 + (m 2 a 2 V 2 0 )/(h/ 4 k 2 ) (6.135) (6.136) (6.137) 6.5 Alcune proprietà dell’equazione di Schrödinger unidimensionale Nel caso unidimensionale esistono alcuni teoremi sulle soluzioni dell’equazione di Schrödinger stazionaria. 168
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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