Meccanica Quantistica

con analoga condizione di positività per l’elemento di matrice di J−J+. Si trovano
dunque le due condizioni
1) λ − m 2 − m ≥ 0
2) λ − m 2 + m ≥ 0 (11.184)
La condizione 1), m2 + m − λ ≤ 0, è soddisfatta per m interno all’intervallo delle
radici
m = − 1
2 ±
1
+ λ
4
(11.185)
mentre la 2), m2 + m − λ ≤ 0, è soddisfatta per m interno all’intervallo
m = 1
2 ±
1
+ λ (11.186)
4
- -
(1/4+ λ) 1/2
1/2 1/2 +
1/2 -
(1/4+ λ) 1/2
-
(1/4+ λ) 1/2
0 1/2 + (1/4+ )
Figura 11.4: Le soluzioni delle condizioni 1) (pallini grigi) e 2) (pallini neri) del
testo.
Dato che λ è positivo si vede facilmente dalla Figura 11.4 che le due condizioni
sono soddisfatte per m compreso nell’intervallo
1
2 −
1
+ λ ≤ m ≤ −1
4 2 +
1
+ λ (11.187)
4
Applichiamo adesso al vettore |λ, m〉 k volte l’operatore J+. Avremo
λ 1/2
J k + |λ, m〉 ≈ |λ, m + k〉 (11.188)
Ma dato che l’autovalore m è limitato superiormente da −1/2 + 1/4 + λ dovrà
esistere un valore massimo di m, diciamo j, tale che
In corrispondenza avremo
da cui
J+|λ, j〉 = 0 (11.189)
〈λ, j|J−J+|λ, j〉 = λ − j 2 − j = 0 (11.190)
λ = j(j + 1) (11.191)
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