Meccanica Quantistica

4.8 Il problema agli autovalori
Come vedremo meglio in seguito, dato un operatore A, spesso si è interessati a
determinare le direzioni dello spazio vettoriale che non sono cambiate dall’‘azione di
A. Queste sono definite dall’equazione
A|v〉 = ω|v〉 (4.143)
Il vettore |v〉 è detto un autovettore o un autoket di A (detto anche eigenvector o
eigenket) con autovalore (o eigenvalue) ω. La determinazione degli autovettori e
degli autovalori di un operatore è il problema centrale della meccanica quantistica.
Consideriamo alcuni esempi:
Esempio 1: A = I. Da I|v〉 = |v〉 segue che tutti i vettori dello spazio sono
autovettori con unico autovalore 1.
Esempio 2: L’operatore di proiezione Pv = |v〉〈v| con |v〉 un vettore normalizzato.
Si ha che ogni vettore parallelo a |v〉 (cioè de; tipo α|v〉 è un autovettore con
autovalore 1:
Pv(α|v〉) = |v〉〈v|(α|v〉) = α|v〉 (4.144)
Viceversa ogni vettore |v⊥〉 perpendicolare a |v〉 è un autovettore con autovalore
nullo:
Pv|v⊥〉 = |v〉〈v|v⊥〉 = 0 (4.145)
Infine i vettori che non sono né paralleli né perpendicolari non sono autovettori
Pv(α|v〉 + β|v⊥〉) = α|v〉 = ω(α|v〉 + β|v⊥〉) (4.146)
Pertanto, dato che abbiamo considerato tutte le possibilità segue che gli unici autovalori
di un operatore di proiezione normalizzato sono 0 e 1.
Esempio 3: L’operatore di rotazione R = Rx(π/2). Chiaramente il ket |1〉 è un
autovettore con autovalore 1, poiché
R|1〉 = |1〉 (4.147)
Ovviamente ogni vettore parallelo a |1〉 è un autovettore dato che l’equazione (4.143)
è lineare ed omogenea nei vettori e quindi non può fissare la normalizzazione degli
autovettori. Conseguentemente vettori che differiscano di un semplice fattore moltiplicativo
non saranno considerati come autovettori distinti. Ci possiamo chiedere se
R ha altri autovettori. La risposta intuitiva è che non ci sono altri vettori invarianti,
dato che nello spazio R 3 una rotazione attorno ad un dato asse lascia invariato
solo quell’asse. D’altra parte se consideriamo V 3 (C) la situazione è più complessa.
Infatti le combinazioni
|2〉 ± i|3〉 (4.148)
sono autovettori con autovalori ∓i:
R(|2〉 ± i|3〉) = |3〉 ∓ i|2〉 = ∓i(|2〉 ± i|3〉) (4.149)
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