Meccanica Quantistica

11.4 Invarianza sotto parità
Diversamente dalle traslazioni spaziali e temporali la parità non è una trasformazione
continua ma discreta. Classicamente:
Quantisticamente definiremo l’operatore di parità come
Quindi
da cui
Π|ψ〉 =
dxΠ|x〉〈x|ψ〉 =
x → −x, p → −p (11.61)
Π|x〉 = | − x〉 (11.62)
dx| − x〉〈x|ψ〉 =
|x〉〈−x|ψ〉 (11.63)
〈x|Π|ψ〉 ≡ ψΠ(x) = ψ(−x) (11.64)
In particolare consideriamo un autostato dell’impulso nella base delle coordinate
Avremo
cioè
Notiamo anche che dalla definizione segue
〈x|p〉 = 1
2πh/ eipx h/ (11.65)
〈x|Π|p〉 = 1
2πh/ e
−i px
h/ = 〈x| − p〉 (11.66)
Seguono le seguenti proprietà dell’operatore di parità
1. Π 2 = I
2. Π = Π −1
3. Gli autovalori di Π sono ±1
4. Π è hermitiano e unitario (Π −1 = Π † = Π)
Π|p〉 = | − p〉 (11.67)
Π 2 |x〉 = Π(| − x〉) = |x〉 (11.68)
229