Meccanica Quantistica

è l’anticommutatore di due operatori A e B. Ma il commutatore di due operatori
hermitiani è antihermitiano, mentre l’anticommutatore è hermitiano. Quindi stiamo
calcolando il modulo quadro di un numero complesso la cui parte reale è il valore di
aspettazione dell’ anticommutatore e la parte immaginaria il valore di aspettazione
del commutatore. Pertanto
〈ψ|
1
2 [Â, ˆ B]+ + 1
2 [Â, ˆ
2
B] |ψ〉
= 1
〈ψ|[
4
Â, ˆ
B]+|ψ〉
Da cui
(∆A) 2 (∆B) 2 ≥ 1
4 |〈ψ|C|ψ〉|2
La disuguaglianza si riduce a una uguaglianza se e solo se
e
2
+ 1
4 |〈ψ|C|ψ〉|2
(9.7)
(9.8)
Â|ψ〉 = c ˆ B|ψ〉 (9.9)
〈ψ|[ Â, ˆ B]+|ψ〉 = 0 (9.10)
La disuguaglianza (9.8) altro non è che l’espressione del principio di indeterminazione.
Infatti se applicata a variabili canonicamente coniugate come X e P, si ha
C = h/I e quindi
∆X∆P ≥ h/
(9.11)
2
9.1 Il pacchetto d’onda con la minima indeterminazione
Un problema interessante è quello di cercare di costruire la funzione d’onda per cui
∆X∆P = h/
2
(9.12)
cioè che minimizza il prodotto delle incertezze. A questo scopo dobbiamo soddisfare
entrambe le equazioni (9.9) e (9.10)
Posto
(P − 〈P 〉)|ψ〉 = c(X − 〈X〉)|ψ〉 (9.13)
〈ψ|(P − 〈P 〉)(X − 〈X〉) + (X − 〈X〉)(P − 〈P 〉)|ψ〉 = 0 (9.14)
〈X〉 = ¯x, 〈P 〉 = ¯p (9.15)
la prima equazione nello spazio delle configurazioni si legge
−ih/ d
− ¯p ψ(x) = c(x − ¯x)ψ(x) (9.16)
dx
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