Meccanica Quantistica

Come vedremo in un momento il secondo termine corrisponde al potenziale centrifugo
ed è un termine repulsivo (per ℓ = 0). Notiamo anche che poichè l’hamiltoniana
originaria era hermitiana anche l’espressione che abbiamo trovato in termini dell’impulso
radiale deve soddisfare la stessa proprietà. Questo significa che sullo spazio
delle soluzioni deve essere soddisfatta la (11.253), che in termini della yEℓ(r) significa
yEℓ(0) = 0 (11.271)
La yEℓ(r) prende il nome di funzione radiale ridotta. Quindi questa condizione al
contorno, insieme al fatto che r ≥ 0, implica che possiamo simulare completamente il
caso unidimensionale prendendo una barriera infinita di potenziale a r = 0 e modificando
il potenziale per r > 0 con il termine centrifugo. Per vedere che effettivamente
il termine centrifugo corrisponde al potenziale centrifugo classico consideriamo una
particella che si muove in un potenziale centrale stando su un piano. Introducendo
coordinate polari su tale piano si ha
v 2 = ˙r 2 + r 2 ˙ φ 2
(11.272)
e l’energia è data da
E = 1
2 µ˙r2 + 1
2 µr2φ˙ 2
+ V (r) (11.273)
In queste coordinate il momento angolare della particella è dato da
e quindi
| L| = µr 2 ˙ φ (11.274)
E = 1
2 µ˙r2 + V (r) + | L| 2
2µr2 (11.275)
Per precisare meglio le condizioni all’origine assumiamo che l’andamento della
yEℓ sia del tipo
yEℓ(r) ≈ r s
(11.276)
con s > 0. Assumiamo inoltre che all’origine V (r) abbia al più una singolarità di
tipo 1/r. Allora il termine dominante nell’equazione è il potenziale centrifugo e
potremo scrivere
da cui
Questa equazione ha due soluzioni
Pertanto la sola soluzione accettabile è
2
h/ d
−
2µ
2yE,ℓ(r) dr2 + h/ 2 ℓ(ℓ + 1)
2µr2 yEℓ(r) = 0 (11.277)
s(s − 1) = ℓ(ℓ + 1) (11.278)
s = ℓ + 1, s = −ℓ (11.279)
s = ℓ + 1 (11.280)
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