Meccanica Quantistica

• n1 quanti di energia h/ω1
• n2 quanti di energia h/ω2
• · · · · · ·
• nN quanti di energia h/ωN
Un tale stato è dunque univocamente definito dai numeri (n1, · · · , nN) e potremo
scrivere
|ψ〉 = |n1, · · · , nN〉 (8.82)
Una tale base è chiamata la base dei numeri di occupazione. Vedremo nella
Sezione successiva la derivazione formale di una tale base in cui tutta la trattazione
dell’oscillatore armonico diventa di gran lunga più semplice.
3) - Lo stato fondamentale ha energia h/ω/2. Lo stato fondamentale non ha
energia nulla in quanto non esiste uno stato del tipo |x = 0, p = 0〉. In definitiva è
una conseguenza del principio di indeterminazione.
4) - Le soluzioni hanno parità definita. Cioè le soluzioni sono pari o dispari
rispetto all’operazione di inversione spaziale x → −x. Come vedremo in seguito
questo deriva dalla proprietà di simmetria del potenziale
V (x) = V (−x) (8.83)
5) - Le soluzioni non si annullano ai turning points. Nel caso classico le regioni
al di là dei turning point non sono accessibili e quindi a questi punti la velocità
si annulla e successivamente cambia di segno permettendo alla particella di tornare
indietro. Nel caso quantistico, a causa dell’effetto tunnel, la particella ha una probabilità
non nulla di trovarsi al di là dei turning points.
6) - La distribuzione di probabilità della particella è molto diversa dal
caso classico. Nel caso classico, una particella sta in un intervallo dx per un
intervallo di tempo pari a
dt = dx
(8.84)
v(x)
dove v(x) è la velocità della particella nel punto x. D’altra parte la probabilità per
la particella di trovarsi in un dx sarà proporzionale a dt:
E nel caso dell’oscillatore armonico
P(x)dx ≈ dx
v(x)
P(x)dx ≈
dx
ω(x 2 0 − x2 ) 1/2
189
(8.85)
(8.86)