Meccanica Quantistica

ipetere lo stesso esperimento in un posto diverso occorre non solo traslare l’atomo di
idrogeno ma anche il condensatore. Formalmente questo si può vedere descrivendo
il condensatore in termini delle cariche depositate sulle placche.
Tutta questa discussione si estende in maniera ovvia al caso di più dimensioni.
Per esempio, l’operatore di traslazione in più dimensioni è
con P l’operatore d’impulso. Notiamo che si ha
T(a) = e −ia · P
h/ (11.53)
T(a)T( b) = T(a + b) (11.54)
in quanto le varie componenti dell’impulso commutano tra loro. Questa relazione
deve essere soddisfatta per consistenza in quanto due traslazioni di a e di b sono
equivalenti ad una unica traslazione di a + b.
11.3 Invarianza per traslazioni temporali
L’invarianza per traslazioni spaziali, o se vogliamo l’omogeneità dello spazio, ha
come conseguenza la conservazione dell’impulso. Consideriamo adesso l’omogeneità
del tempo, cioè quella proprietà che ci assicura che ripetendo lo stesso esperimento
a tempi diversi, si ottiene lo stesso risultato.
Prepariamo a t = t1 uno stato |ψ0〉 = |ψ(t1)〉 e facciamolo evolvere nel tempo.
Al tempo t1 + ǫ, con ǫ infinitesimo si avrà
|ψ(t1 + ǫ)〉 =
I − i ǫ
h/ H(t1)
|ψ0〉 (11.55)
Se adesso prepariamo lo stesso stato a t = t2, |ψ(t2)〉 = |ψ0〉, al tempo t2 +ǫ avremo
|ψ(t2 + ǫ)〉 = I − i ǫ
h/ H(t2)
|ψ0〉 (11.56)
Ma per l’omogeneità del tempo due vettori a t1 + ǫ e t2 + ǫ devono coincidere
da cui segue
|ψ(t1 + ǫ)〉 = |ψ(t2 + ǫ)〉 (11.57)
H(t1) = H(t2) (11.58)
Vale a dire che H non deve dipendere esplicitamente dal tempo. Per un tale
operatore il teorema di Ehrenfest richiede che
ih/ d
〈H〉 = 〈[H, H]〉 = 0 (11.59)
dt
dunque
d
〈H〉 = 0 (11.60)
dt
Segue dunque la conservazione dell’energia.
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