Meccanica Quantistica

I livelli energetici sono determinati dalla costante di Rydberg data in equazione
(12.37)
Ry = me4
2 2
mc2 e
2 = =
2h/ 2 h/c
0.25 · 106
= 13.3 eV più accurato 13.6 (12.61)
1372 Quindi i livelli energetici sono
En = − 13.6
eV (12.62)
n2 Ci sono altre due importanti lunghezze associate al raggio di Bohr, la lunghezza
d’onda Compton dell’elettrone
e il raggio classico dell’elettrone
λe = h/
mc
2
h/
=
me2 e2 h/c = a0α (12.63)
re = e2 h/ e
=
mc2 mc
2
h/c = αλe = α 2 a0
(12.64)
Per terminare, esiste un modo molto semplice per ricordare la costante di Rydberg
o, se vogliamo, l’energia dello stato fondamentale. Classicamente un elettrone è in
equilibrio sull’orbita se
da cui
mv 2
r
= e2
r
E = 1
2 mv2 − e2
r
= −1
2 mv2
(12.65)
(12.66)
Possiamo scrivere
E = − 1
2 mv2 = − 1
2 mc2
v
2 c
(12.67)
Se assumiamo che il rapporto v/c sia dato da
v α
=
c n
(12.68)
si ottiene
E = − 1 1
mc2
2 n2 2 2
e
= −
h/c
me4
2h/ 2 n2 (12.69)
Se si sfrutta la quantizzazione del momento angolare si ottiene, per traiettorie
circolari
mvr = nh/ (12.70)
e moltiplicando per c
in accordo con la stima (12.51).
mc 2v
c r = nh/c ⇒ r = n2 h/
α mc
264
= n2
α λe = a0n 2
(12.71)