Meccanica Quantistica

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Al tempo t = 0 gli osservatori in A e B preparano due sistemi identici, o se vogliamo il sistema in B è ottenuto da A tramite una traslazione spaziale pari ad a. Al tempo t il sistema preparato da A si è evoluto in U(t)|ψ(0)〉 mentre quello in B si è evoluto in U(t)T(a)|ψ(0)〉. Ma per la proprietà precedente si ha che questo coincide con T(a)U(t)|ψ(0)〉 che è uguale allo stato A al tempo t traslato di a. Pertanto due sistemi che differiscono per una traslazione al tempo zero differiscono ancora della stessa traslazione ad ogni istante successivo. Detto in altri termini l’evoluzione temporale di un dato sistema è la stessa indipendentemente da dove il sistema sia stato preparato (ovviamente se il sistema è invariante per traslazioni). È un risultato sperimentale il fatto che ogni interazione conosciuta è invariante per traslazioni. Dunque esperimenti identici effettuati in posti diversi portano allo stesso risultato. Per chiarire bene questa idea consideriamo un atomo di idrogeno posto tra le placche di un condensatore che esercita un potenziale V ( R). L’hamiltoniana del sistema è e p Figura 11.3: Un atomo di idrogeno posto tra le placche di un condensatore. H = 1 | 2me Pe| 2 + 1 | 2mp Pp| 2 eeep + 4π| Re − Rp| + eeV ( Re) + epV ( Rp) (11.51) Se trasliamo le coordinate dell’elettrone e del protone, H non è invariante, dato che H( Re + ǫ, Rp + ǫ, Pe, Pp) = H( Re, Rp, Pe, Pp) (11.52) Mentre i primi tre termini, che riguardano l’interazione tra il protone e l’elettrone sono invarianti, cosi non è per la parte di potenziale. Infatti se traslassimo solo l’atomo di idrogeno e non il condensatore si farebbe uno esperimento diverso. Per 227
ipetere lo stesso esperimento in un posto diverso occorre non solo traslare l’atomo di idrogeno ma anche il condensatore. Formalmente questo si può vedere descrivendo il condensatore in termini delle cariche depositate sulle placche. Tutta questa discussione si estende in maniera ovvia al caso di più dimensioni. Per esempio, l’operatore di traslazione in più dimensioni è con P l’operatore d’impulso. Notiamo che si ha T(a) = e −ia · P h/ (11.53) T(a)T( b) = T(a + b) (11.54) in quanto le varie componenti dell’impulso commutano tra loro. Questa relazione deve essere soddisfatta per consistenza in quanto due traslazioni di a e di b sono equivalenti ad una unica traslazione di a + b. 11.3 Invarianza per traslazioni temporali L’invarianza per traslazioni spaziali, o se vogliamo l’omogeneità dello spazio, ha come conseguenza la conservazione dell’impulso. Consideriamo adesso l’omogeneità del tempo, cioè quella proprietà che ci assicura che ripetendo lo stesso esperimento a tempi diversi, si ottiene lo stesso risultato. Prepariamo a t = t1 uno stato |ψ0〉 = |ψ(t1)〉 e facciamolo evolvere nel tempo. Al tempo t1 + ǫ, con ǫ infinitesimo si avrà |ψ(t1 + ǫ)〉 = I − i ǫ h/ H(t1) |ψ0〉 (11.55) Se adesso prepariamo lo stesso stato a t = t2, |ψ(t2)〉 = |ψ0〉, al tempo t2 +ǫ avremo |ψ(t2 + ǫ)〉 = I − i ǫ h/ H(t2) |ψ0〉 (11.56) Ma per l’omogeneità del tempo due vettori a t1 + ǫ e t2 + ǫ devono coincidere da cui segue |ψ(t1 + ǫ)〉 = |ψ(t2 + ǫ)〉 (11.57) H(t1) = H(t2) (11.58) Vale a dire che H non deve dipendere esplicitamente dal tempo. Per un tale operatore il teorema di Ehrenfest richiede che ih/ d 〈H〉 = 〈[H, H]〉 = 0 (11.59) dt dunque d 〈H〉 = 0 (11.60) dt Segue dunque la conservazione dell’energia. 228
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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