Meccanica Quantistica

e quindi
a = 2Z
n
La variabile adimensionale ρ risulta dunque
ρ = 2Z
n
1
a0
r
a0
(12.45)
(12.46)
È allora facile vedere che le prime autofunzioni dell’atomo di idrogeno (Z = 1) sono
ψ200(r, θ, φ) =
ψ210(r, θ, φ) =
ψ100(r, θ, φ) = 2
r
3/2
1 −
√ e a0 (12.47)
4π a0
1
32πa 3 0
1
32πa 3 0
1/2
2 − r
1/2 r
e
a0
a0
r
−
e 2a0
r
−
2a0 cosθ
1
ψ21±1(r, θ, φ) = ∓
64πa3 r
1/2
r −
e 2a0 sin θe
0 a0
±iφ
(12.48)
Il significato fisico di a0 si può arguire considerando la funzione d’onda ψn,n−1,0, che
risulta contenere un fattore ρ n−1 e un esponenziale exp(−ρ/2) = exp(−r/(na0)). In
questo caso la probabilità di trovare un elettrone in una buccia sferica di raggio r e
spessore dr è data da
P(r)dr =
r 2 dΩ|ψn,n−1,0| 2 dr ≈ r 2n r
−2
e na0 dr (12.49)
Questa probabilità è massima quando
0 = d
⎛
⎝r
dr
2n r ⎞
−2
e na0 ⎠ = 2nr 2n−1 r
−2
e na0 − 2
r
na0
2n r
−2
e na0 (12.50)
cioè per
r = n 2 a0
(12.51)
Quindi le dimensioni dell’atomo crescono come n 2 . Più in generale si può dimostrare
che
〈r〉nℓm = a0
2 (3n2 − ℓ(ℓ + 1)) (12.52)
che è in accordo con la precedente stima per grandi n, dato che 〈r〉n,n−1,0 = a0(n 2 +
n/2).
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