Meccanica Quantistica

Pertanto
ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈p|x〉〈x|ψ〉dx =
Pertanto
=
=
=
=
=
1
2πh/ √ π1/2
∆
1
2πh/ √ π1/2∆ e−ipa
h/
1
2πh/ √ π1/2∆ e−ipa
h/
1
2πh/ e−ipx h/ 1
(π∆2 − a)2
2∆
) 1/4e−(x 2 =
−
dxe
ipx (x − a)2
−
h/ 2∆2 =
dye −ipy
h/
1
2πh/ √ π1/2∆ e
− ipa
−
h/ e
p2∆2 2h/
−(
dye
ip∆
√
2h/
2
− y2
2∆ 2 =
+ y
√ 2∆ ) 2 − p2 ∆ 2
2h/ 2
d( √ 2z∆)e −z2
1
2πh/ √ π1/2∆ e
− ipa
−
h/ e
p2∆2 2h/ 2 √ 2 ∆
2π∆ =
πh/ 2
1/4 −
e
ipa
−
h/ e
p2∆2 2h/ 2
(5.134)
|ψ(p)| 2 2 ∆
=
πh/ 2
1/2
−
e
p2∆2 h/ 2
=
=
(5.135)
Vediamo che la funzione d’onda nello spazio degli impulsi è ancora una gaussiana
che differisce per ∆ → h//∆. Quindi
〈P 〉 = 0, ∆P = h/
√2∆
(5.136)
Osserviamo che il prodotto delle deviazioni standard di X e P non dipende da ∆,
infatti
∆X∆P = ∆ h/
√ √ =
2 2∆ h/
2
(5.137)
Questa relazione non è altro che una espressione del principio di indeterminazione
nel caso in esame ed è una conseguenza del fatto che se una funzione ha un picco
stretto, la sua trasformata di Fourier ha invece un picco largo.
Conviene adesso soffermarsi a riflettere sul significato dei vettori impropri quali
le onde piane che non sono normalizzabili a uno, ma solo a una delta di Dirac. L’impossibilità
di una loro normalizzazione riflette l’incapacità di associare a tali stati
una distribuzione di probabilità ragionevole. Per esempio, se si ha un’onda piana,
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