Meccanica Quantistica

I coefficienti dell’espansione dipendono ovviamente da ¯x1 e possiamo dunque espanderli
sulla base ω1(x1) ottenendo
ψ(x1, x2) =
cω1,ω2ω1(x1)ω2(x2) =
cω1,ω2〈x1|ω1〉〈x2|ω2〉 (10.36)
ω1,ω2
ω1,ω2
Usando la definizione di prodotto scalare in V1 ⊗ V2 segue
ψ(x1, x2) =
cω1,ω2(〈x1| ⊗ 〈x2|)(|ω1〉 ⊗ |ω2〉) (10.37)
ω1,ω2
Da questa espressione vediamo che il nostro vettore originale |ψ〉 può scriversi come
|ψ〉 =
cω1,ω2(|ω1〉 ⊗ |ω2〉) (10.38)
ω1,ω2
mostrando dunque che essendo |ψ〉 in V1⊗ 2 e potendo espandersi in V1 ⊗ V2 i due
spazi coincidono.
10.2 Equazione di Schrödinger per due particelle
L’equazione di Schrödinger per un sistema a due particelle è
ih/| ˙
1
ψ〉 = P
2m1
2 1
1 + P
2m2
2 2 + V (X1,
X2) |ψ〉 = H|ψ〉 (10.39)
Il problema si può dividere in due classi:
Classe A: H separabile:
In questo caso
con
V (X1, X2) = V1(X1) + V2(X2) (10.40)
Hi = 1
2mi
H = H1 + H2
(10.41)
P 2
i + Vi(Xi), i = 1, 2 (10.42)
Classicamente le due particelle descritte dalle due hamiltoniane si evolvono in modo
del tutto indipendente e le loro energie sono separatamente conservate, mentre
l’energia totale del sistema è data da E = E1 +E2. Consideriamo dunque uno stato
stazionario
−i
|ψ(t)〉 = |E〉e
Et
h/ (10.43)
con
H|E〉 = (H1(X1, P1) + H2(X2, P2))|E〉 = E|E〉 (10.44)
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