Meccanica Quantistica

Per i = j si ha
Per i = j
|ui| 2 = 1 (4.207)
〈uj|ui〉 = 0 (4.208)
e quindi seguono entrambi i teoremi.
Nel caso degenere può essere seguita la dimostrazione del caso di un operatore
hermitiano. L’unica differenza è nella dimostrazione relativa agli zeri della prima
riga, che adesso segue dalla condizione di unitarietà. Infatti si ha
U † U = I ⇒
j
(U † )1jUj1 =
|U1j| 2 = 1 (4.209)
Ma dato che, selezionando il primo autovalore come per il caso di operatori hermitiani
|U11| 2 = 1 (4.210)
si ha necessariamente
j
U1j = 0, j = 1 (4.211)
4.9.2 Diagonalizzazione di una matrice hermitiana
Abbiamo dimostrato che data la matrice di un operatore hermitiano in V n (C) in
una base ortonormale, esiste una base ortonormale di autovettori che sono connessi
alla base iniziale da una trasformazione unitaria. Il motivo è che le trasformazioni
unitarie lasciano invariato il prodotto scalare. Infatti supponiamo che si passi dalla
base ortonormale iniziale |i〉 alla base degli autostati |ωi〉 con una trasformazione U
Segue
|ωi〉 = U|i〉 (4.212)
〈j|U † = 〈ωj| ⇒ 〈j|U † U|i〉 = 〈ωj|ωi〉 = δij
(4.213)
Pertanto U deve essere unitario.
Parlando in termini di trasformazioni passive quanto sopra si enuncia dicendo
che dato un operatore hermitiano A, esiste una matrice unitaria U tale che
U † AU = AD
con AD diagonale. Questa equazione implica
AU = UAD
vale a dire
AijUjk =
Uij(AD)jk =
j
j
81
j
Uijωjδjk = ωkUik
(4.214)
(4.215)
(4.216)