Meccanica Quantistica

a ψj(r, m) come a un vettore con 2j + 1 componenti:
⎛ ⎞
ψj(r, j)
⎜ ψj(r, j − 1) ⎟
ψj(r, m) = ⎜ · · · ⎟
⎝ψj(r,
−j + 1) ⎠
ψj(r, −j)
Per momento angolare di spin fissato, la norma di un vettore di stato è data
〈ψ|ψ〉 =
+j
m=−j
d 3 r〈ψ|r; j, m〉〈r; j, m|ψ〉 =
+j
m=−j
d 3 r |ψj(r, m)| 2
(15.2)
(15.3)
Quindi per un vettore normalizzato le probabilità di osservare la particella con
proiezione m del momento di spin è data da
P(m) = d 3 r |ψj(r, m)| 2
(15.4)
Prima di procedere consideriamo i casi particolari dello spin 1/2 e dello spin 1.
Spin 1/2: Dalla teoria generale del momento angolare (vedi Sezione 11.6.1) si
ha
Jz = 1
1 0
2 0 −1
(15.5)
e da
segue
e
3 1 1
〈1/2, 1/2|J+|1/2, −1/2〉 = + · = 1 (15.6)
4 2 2
3 1 1
〈1/2, −1/2|J−|1/2, 1/2〉 = + · = 1 (15.7)
4 2 2
Jx = 1
2 (J+ + J−) = 1
2
Jy = − i
2 (J+ − J−) = 1
2
0 1
1 0
0 −i
i 0
In genere si preferisce usare le matrici di Pauli, definite come
e quindi date da
σx =
0 1
, σy =
1 0
(15.8)
(15.9)
σ = 2 J (15.10)
0 −i 1 0
, σz =
i 0 0 −1
283
(15.11)