Meccanica Quantistica

e proiettando sulla base |x; j, m〉 segue
da cui (se H commuta con J 2 )
ih/ ∂
〈x; j, m|ψ〉 = 〈x; j, m|H|ψ〉 (15.50)
∂t
ih/ ∂
∂t ψj(x, m) =
m ′
Hmm ′
x, ∂
ψj(x, m) (15.51)
∂x
dove Hmm ′ (x, ∂/∂x) è un insieme di (2j + 1) × (2j + 1) operatori differenziali nello
spazio delle coordinate e
〈x; j, m|H|x ′ ; j, m ′ 〉 = Hmm ′
x, ∂
δ(x − x
∂x
′ ) (15.52)
Dunque nello spazio degli spinori l’equazione di Schrödinger diventa un insieme di
(2j + 1) equazioni accoppiate
ih/ ∂
∂t ψj(x) = Hψj(x) (15.53)
con H una matrice (2j + 1) × (2j + 1).
Nel caso particolare dello spin 1/2 usando il fatto che nello spazio delle matrici
2 × 2 le σ di Pauli e la matrice identità formano un set completo 1 si può scrivere
H = H0 · I + H · σ (15.54)
dove H0 e H sono in genere operatori differenziali. Dunque la forma più generale
dell’equazione di Schrödinger per una particella di spin 1/2 è (equazione di Pauli):
ih/ ∂
∂t ψ1/2(x) = (H0 + H · σ)ψ1/2(x) (15.55)
Discuteremo successivamente l’interpretazione fisica dei due termini che appaiono a
secondo membro in questa equazione.
15.1.1 L’equazione di Pauli per un elettrone in un campo
magnetico
Ricordiamo qui le equazioni del moto di una particella carica in un campo elettromagnetico.
La forza totale che agisce sulla particella è data da
F = e E + e
c v ∧ B (15.56)
1 Si dimostra facilmente usando le proprietà di prodotto delle matrici di Pauli e le proprietà di
traccia Tr[I] = 2 e Tr[σ] = 0
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