Meccanica Quantistica

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Effettuando la trasformazione canonica 2 Si trova Vij = ∂2 V (x1, x2, · · · , xN) ∂xi∂xj H = 1 2 (8.11) Pi = pi √mi, qi = √ mixi (8.12) ij PiδijPj + 1 2 Vij = √ mimjVij ij qiVijqj (8.13) (8.14) Notiamo che la matrice V è hermitiana (autotrasposta dato che i suoi elementi di matrice sono reali) e quindi si possono disaccoppiare gli oscillatori diagonalizzando V: U † VU = VD (8.15) Effettuando la trasformazione U sia sulle qi che sulle pi si trova, dato che la U è ortogonale, essendo V autotrasposta, H = 1 2 i ˜Pi = j ˜P 2 i + 1 2 i (VD)ii˜q 2 i UijPj, ˜qi = j Uijqj (8.16) (8.17) Un esempio è costituito da un cristallo con gli atomi che vibrano attorno alla loro posizione di equilibrio. Un altro esempio è costituito dal potenziale elettromagnetico che soddisfa l’equazione di D’Alembert Espandendo il potenziale in onde piane si trova ¨φ − ∇ 2 φ = 0 (8.18) φ = ak(t)e ik · x k (8.19) äk + | k| 2 ak = 0 (8.20) Prima di passare allo studio dell’oscillatore quantistico ricordiamo alcune proprietà dell’oscillatore classico. Le equazioni di Hamilton sono ˙x = ∂H ∂p = p m 2 Si verifica subito che le parentesi di Poisson sono invariate. 181 (8.21)
da cui La soluzione generale è ˙p = − ∂H ∂x = −mω2 x (8.22) ¨x + ω 2 x = 0 (8.23) x(t) = A cosωt + B sin ωt = x0 cos(ωt + φ0) (8.24) dove x0 è l’ampiezza dell’oscillazione e φ0 la fase. Si ha anche da cui E = T + V = 1 2 m ˙x2 + 1 2 mω2 x 2 = 1 2 mω2 x 2 0 ˙x = 2E m − ω2x 2 1/2 = ω(x 2 0 − x2 ) 1/2 (8.25) (8.26) Pertanto la velocità dell’oscillatore si annulla nei punti ±x0. Il significato fisico di questi punti, dettiturning points, è evidente dalla Figura 8.2. con _ x 0 V(x) Figura 8.2: Il potenziale dell’oscillatore armonico e i turning points ±x0. Passiamo adesso allo studio dell’oscillatore quantistico E ih/ d |ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉 (8.27) dt 1 H = + 2m 2 mω2X 2 Inizieremo lo studio a partire dall’equazione di Schrödinger stazionaria P 2 x 0 x (8.28) H|E〉 = E|E〉 (8.29) 182
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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