Meccanica Quantistica

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10.6 Determinazione sperimentale della statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 10.7 Quando si può ignorare la simmetrizzazione o l’antisimmetrizzazione della funzione d’onda? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11 Simmetrie 220 11.1 Invarianza per traslazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 11.2 Implicazioni dell’invarianza per traslazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.3 Invarianza per traslazioni temporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 11.4 Invarianza sotto parità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.5 Rotazioni in due dimensioni spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.5.1 Il problema agli autovalori per Lz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 11.5.2 Problemi invarianti per rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.6 Rotazioni in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 11.6.1 Problema agli autovalori per L 2 e Lz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.6.2 Autofunzioni del momento angolare nella base delle coordinate . . . 245 11.6.3 Problemi invarianti per rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11.6.4 La particella libera in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . 253 12 L’atomo di idrogeno 257 12.1 Moto relativo di due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 12.2 L’equazione d’onda per l’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 12.2.1 Stime numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 13 L’approssimazione WKB 265 13.1 Condizioni di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . 269 13.2 Il decadimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 14 Teoria delle perturbazioni nel caso stazionario 272 14.1 La teoria perturbativa nel caso non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 14.1.1 L’oscillatore armonico perturbato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 14.1.2 Stato fondamentale dell’atomo di elio . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 14.1.3 Regole di selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 14.2 Teoria delle perturbazioni nel caso degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 14.2.1 Effetto Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 15 Momento angolare intrinseco o spin 282 15.1 Lo spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 15.1.1 L’equazione di Pauli per un elettrone in un campo magnetico . . . . 288 15.1.2 Moto di spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 15.2 Addizione di momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 15.2.1 Coefficienti di Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 15.3 Operatori tensoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 1
Capitolo 1 Introduzione Queste dispense sono solo degli appunti utilizzati per le lezioni della prima parte del corso di Meccanica Quantistica del corso di laurea in Fisica dell’Università di Firenze. Per questo corso ho seguito in particolare il volume: Principles of Quantum Mechanics di R. Shankar edito da Kluver Academic/Plenum Press. A mio modesto parere questo libro rappresenta una delle migliori introduzioni alla meccanica quantistica per la sua estrema chiarezza e ricchezza di discussione. In questo senso queste dispense sono inutili, dato che lo studente può studiare direttamente l’originale. Ciò nonostante ho ritenuto personalmente utile raccogliere questi appunti, dato che alcune parti dello Shankar vengono omesse dal corso, o perché trattate in altri corsi, quali la parte di meccanica classica, o parti applicative che verranno invece trattate nella seconda parte del corso. Inoltre in alcuni punti (pochi) mi sono distaccato dalla trattazione dello Shankar ed essendo delle dispense nate dalla preparazione delle lezioni, contengono forse un maggior dettaglio di calcoli. Pertanto non c’è assolutamente nessuna pretesa di originalità in queste note ed ovviamente ogni errore che vi sia contenuto è da attribuire al sottoscritto. Altri libri consultati per la preparazione di questi appunti sono stati Meccanica Quantistica Moderna di J.J. Sakurai edito da Zanichelli e Meccanica Quantistica I, Principi di G. Nardulli edito da Franco Angeli. La fisica classica, meccanica, acustica, ottica, elettromagnetismo, ecc. studia fenomeni che sono direttamente alla nostra portata, cioè fenomeni che possiamo vedere, sentire o toccare. In altri termini la fisica classica è connessa con una percezione diretta dei fenomeni. Quindi, sia che uno conosca o meno la fisica in senso formale, l’esperienza di tutti i giorni, a partire dall’infanzia, ci crea dei pregiudizi su come gli oggetti che ci circondano si dovrebbero comportare e sulla loro caratterizzazione. I concetti di forza, moto, ecc. sono in qualche modo insiti nel nostro modo di riguardare la natura, anche se non sappiamo formulare le equazioni di Newton. Lo scopo della fisica classica è quello di cercare di dare una descrizione quantitativa (cioè matematica) di quanto osserviamo e questo viene fatto tramite la formulazione di leggi fisiche, che poi cerchiamo di estrapolare dall’osservazione quotidiana ad altre situazioni. Per esempio, il moto delle palle di un biliardo è ben descritto dalle leggi di Newton, se si estrapola questo a scala astronomica si osserva che anche il 2
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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