Meccanica Quantistica

In questo caso adotteremo la prescrizione di Weyl che consiste nel simmetrizzare in
X e in P, cioè
Ω = 1
(XP + PX) (5.28)
2
Vediamo che questa prescrizione rende anche l’operatore Ω hermitiano dato che
(XP) † = PX (5.29)
In casi più complessi in cui Ω contenga prodotti di due o più potenze di X con due
o più potenze di P non esiste una prescrizione univoca ed occorre ricorrere all’esperimento.
L’operatore Ω è degenere. Supponiamo di avere due autovalori degeneri ω1 =
ω2 = ω. Come calcoliamo P(ω) in questo caso? A questo scopo scegliamo una base
ortonormale nell’autospazio Vω, |ω, 1〉 e |ω, 2〉. Supponiamo poi di partire da un caso
non degenere in cui i due autovalori siano ω e ω + ǫ. Inoltre supponiamo che
|ω〉 = |ω, 1〉, lim
ǫ→0 |ω + ǫ〉 = |ω, 2〉 (5.30)
Allora la probabilità di ottenere ω o ω + ǫ come risultato della misura è
P(ω o ω + ǫ) = |〈ω|ψ〉| 2 + |〈ω + ǫ|ψ〉| 2
È ragionevole supporre che il risultato rimanga tale nel limite ǫ → 0 e quindi
P(ω) = |〈ω, 1|ψ〉| 2 + |〈ω, 2|ψ〉| 2
Se introduciamo l’operatore di proiezione sull’autospazio Vω
si ha
(5.31)
(5.32)
Pω = |ω, 1〉〈ω, 1| + |ω, 2〉〈ω, 2| (5.33)
P(ω) = 〈ψ|Pω|ψ〉 = 〈Pωψ|Pωψ〉 (5.34)
Pertanto il postulato 3) si generalizza semplicemente dicendo che la probabilità di
ottenere l’autovalore ω come risultato della misura di Ω è data da
con Pω il proiettore sull’autospazio Vω.
P(ω) ∝ 〈ψ|Pω|ψ〉 (5.35)
Lo spettro di Ω è continuo. In questo caso si ha
|ψ〉 = |ω〉〈ω|ψ〉dω (5.36)
Dato che ω varia con continuità chiameremo
〈ω|ψ〉 = ψ(ω) (5.37)
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